Νέα συνευθειακότητα

#1

: Fragkos_28_9_2023.png (8.64 KiB) Προβλήθηκε 139 φορές

Σε ευθεία θεωρώ κατά σειρά από αριστερά προς δεξιά τα σημεία : E,B,M,C

με

.

Έστω

το μέσο του

και σημείο

για το οποίο $\widehat {CBA} < 90^\circ$ . Γράφω τον κύκλο , $\left( {A,E,K} \right)$ .

Τον κύκλο αυτό τέμνουν ακόμα: η

στο

, η

στο

και η

στο

.

Δείξετε ότι η ευθεία

διέρχεται από το

.

#2

Doloros έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 28, 2023 12:26 pm
Fragkos_28_9_2023.png

Σε ευθεία θεωρώ κατά σειρά από αριστερά προς δεξιά τα σημεία : με .

Έστω το μέσο του και σημείο για το οποίο $\widehat {CBA} < 90^\circ$ . Γράφω τον κύκλο , $\left( {A,E,K} \right)$ .

Τον κύκλο αυτό τέμνουν ακόμα: η στο , η στο και η στο .

Δείξετε ότι η ευθεία διέρχεται από το .

Στο σχήμα του Νίκου

Είναι $\dfrac{BK}{KC}=\dfrac{EB}{EC}=\dfrac{1}{3}$ και συνεπώς η σημειοσειρά $\left( E,B,K,C \right)$ είναι αρμονική , άρα και η δέσμη A.EBKC

είναι αρμονική, οπότε το τετράπλευρο ESKP

είναι αρμονικό , άρα η δέσμη Q.ESKP

είναι αρμονική και συνεπώς και η σημειοσειρά $\left( E,C,K,{B}' \right)$ είναι αρμονική, όπου ${B}'\equiv PQ\cap EC$ οπότε και η σημειοσειρά $\left( E,{B}',K,C \right)$ είναι αρμονική.
Από τις αρμονικές σημειοσειρές $\left( E,B,K,C \right)$ και $\left( E,{B}',K,C \right)$ προκύπτει ότι ${B}'\equiv B$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί

#3

Doloros έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 28, 2023 12:26 pm
Fragkos_28_9_2023.png

Σε ευθεία θεωρώ κατά σειρά από αριστερά προς δεξιά τα σημεία : με .

Έστω το μέσο του και σημείο για το οποίο $\widehat {CBA} < 90^\circ$ . Γράφω τον κύκλο , $\left( {A,E,K} \right)$ .

Τον κύκλο αυτό τέμνουν ακόμα: η στο , η στο και η στο .

Δείξετε ότι η ευθεία διέρχεται από το .

Ευχαριστώ πολύ το Στάθη για την σχεδόν ακαριαία αντιμέτωπηση της άσκησης .

Στο ίδιο περίπου μήκος κύματος και η ημετέρα λύση .

: Fragkos_28_9_2023_Λύση.png (20.18 KiB) Προβλήθηκε 137 φορές

Επειδή , $\dfrac{{BE}}{{BK}} = \dfrac{{CE}}{{CK}} = 2$ η τετράδα : $\left( {E,K\backslash B,C} \right)$ είναι αρμονική ,

έτσι για κάθε

της ευθείας

η πολική του

ως προς τις ευθείες $JA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,JE$ θα διέρχεται από το

. ( Ορισμός πολικής ως πρός δύο ευθείες)

Αν επιλέξω ως

την τομή της ευθείας που ορίζουν τα δύο σημεία $P\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Q$ με την

, αυτή, η πολική, θα διέρχεται από το

Νέα συνευθειακότητα

Νέα συνευθειακότητα

Re: Νέα συνευθειακότητα

Re: Νέα συνευθειακότητα

Μέλη σε σύνδεση