Τρίγωνο να το πιεις στο ποτήρι

KARKAR · #1

: Τρίγωνο να το πιεις στο ποτήρι.png (11.91 KiB) Προβλήθηκε 212 φορές

Το τρίγωνο ABC

του σχήματος , είναι περιγεγραμμένο στον κύκλο (K,2)

.

Α) Βρείτε το

, ώστε το εμβαδόν ( και η περίμετρος ! ) να είναι

.

Β) Βρείτε το

, ώστε το εμβαδόν του να είναι το ελάχιστο δυνατό .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 25, 2023 7:55 am
Τρίγωνο να το πιεις στο ποτήρι.pngΤο τρίγωνο του σχήματος , είναι περιγεγραμμένο στον κύκλο .

Α) Βρείτε το , ώστε το εμβαδόν ( και η περίμετρος ! ) να είναι .

Β) Βρείτε το , ώστε το εμβαδόν του να είναι το ελάχιστο δυνατό .

: Τρίγωνο ποτό.png (12.81 KiB) Προβλήθηκε 183 φορές

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 25, 2023 7:55 am
Τρίγωνο να το πιεις στο ποτήρι.pngΤο τρίγωνο του σχήματος , είναι περιγεγραμμένο στον κύκλο .

Α) Βρείτε το , ώστε το εμβαδόν ( και η περίμετρος ! ) να είναι .

Β) Βρείτε το , ώστε το εμβαδόν του να είναι το ελάχιστο δυνατό .

Επειδή

το εμβαδόν του τριγώνου είναι πάντα ίσο αριθμητικά με την περίμετρο.

$2(x + c + 4) = \dfrac{1}{2}(x + 4)(c + 4)\sin B.$ Αλλά, $\displaystyle \tan \frac{B}{2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \tan B = \frac{4}{3} \Rightarrow \sin B = \frac{4}{5}$

: Τρίγωνο ποτό.png (12.81 KiB) Προβλήθηκε 154 φορές

Α) $\displaystyle \left\{ \begin{gathered} 2(x + c + 4) = 21 \hfill \\ \hfill \\ \frac{2}{5}(x + 4)(c + 4) = 21 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow$ $\boxed{c=\frac{7}{2}}$

B) $\displaystyle 2(x + c + 4) = \frac{2}{5}(x + 4)(c + 4) \Leftrightarrow x = \frac{{c + 4}}{{c - 1}}$ και το εμβαδόν γράφεται

$\displaystyle (ABC) = f(c) = \frac{{2{c^2} + 8c}}{{c - 1}}$ που παρουσιάζει ελάχιστο όταν $\boxed{c = 1 + \sqrt 5 = 2\Phi }$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 25, 2023 7:55 am
Τρίγωνο να το πιεις στο ποτήρι.pngΤο τρίγωνο του σχήματος , είναι περιγεγραμμένο στον κύκλο .

Α) Βρείτε το , ώστε το εμβαδόν ( και η περίμετρος ! ) να είναι .

Β) Βρείτε το , ώστε το εμβαδόν του να είναι το ελάχιστο δυνατό .

α)
$\left\{ \begin{gathered} \tan \frac{B}{2} = \frac{1}{2} \hfill \\ \sin B = \frac{{2\tan B}}{{1 + {{\tan }^2}B}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{\sin B = \frac{4}{5}}$ .

: Τρίγωνο να το πιείς στο ποτύρ_a.png (13.04 KiB) Προβλήθηκε 145 φορές

Έτσι $\left\{ \begin{gathered} E = 2s = 21 = 8 + 2\left( {x + y} \right) \hfill \\ E = \frac{1}{2}\left( {x + 4} \right)\left( {y + 4} \right)\frac{4}{5} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x + y = \frac{{13}}{2} \hfill \\ \left( {x + 4} \right)\left( {y + 4} \right) - \frac{{105}}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \frac{7}{2} \hfill \\ y = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

β)

Πάλι $\left\{ \begin{gathered} E = f(x) = \frac{2}{5}\left( {x + 4} \right)\left( {y + 4} \right) = 2s = 8 + x + y \hfill \\ y = \frac{{x + 4}}{{x - 1}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

: Τρίγωνο να το πιείς στο ποτύρι_b.png (10.84 KiB) Προβλήθηκε 145 φορές

Άρα $E = f\left( x \right) = 2\left( {4 + \dfrac{{x + 4}}{{x - 1}}} \right) = \dfrac{{2x\left( {x + 4} \right)}}{{x - 1}}$ που για $x = 1 + \sqrt 5$ έχει ελάχιστη τιμή :

$\boxed{f\left( {1 + \sqrt 5 } \right) = 3\left( {4 + \sqrt 5 } \right)}$ .

Τρίγωνο να το πιεις στο ποτήρι

Τρίγωνο να το πιεις στο ποτήρι

Re: Τρίγωνο να το πιεις στο ποτήρι

Re: Τρίγωνο να το πιεις στο ποτήρι

Re: Τρίγωνο να το πιεις στο ποτήρι

Μέλη σε σύνδεση