Προέκυψε, δύο ευθείες να τέμνονται κάθετα

orestisgotsis · #1

: Κάθετες ευθείες .png (32.58 KiB) Προβλήθηκε 320 φορές

Έστω

και

δύο τεμνόμενες στο

ευθείες. Τα σημεία ${{G}_{1}},\,\,{{G}_{2}}$ είναι τα

κέντρα βάρους των τριγώνων $WXO,\,\,YZO$ αντίστοιχα, ενώ τα σημεία ${{H}_{1}},\,\,{{H}_{2}}$ είναι

τα ορθόκεντρα των τριγώνων $XYO,\,\,ZWO$ αντίστοιχα. Δείξτε ότι ${{G}_{1}}{{G}_{2}}\bot {{H}_{1}}{{H}_{2}}$ .

#2

orestisgotsis έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 20, 2023 10:20 pm
Κάθετες ευθείες .png
Έστω και δύο τεμνόμενες στο ευθείες. Τα σημεία ${{G}_{1}},\,\,{{G}_{2}}$ είναι τα κέντρα βάρους των τριγώνων $WXO,\,\,YZO$ αντίστοιχα, ενώ τα σημεία ${{H}_{1}},\,\,{{H}_{2}}$ είναι τα ορθόκεντρα των τριγώνων $XYO,\,\,ZWO$ αντίστοιχα. Δείξτε ότι ${{G}_{1}}{{G}_{2}}\bot {{H}_{1}}{{H}_{2}}$ .

$\bullet$ Ας είναι M,S,N,P

τα μέσα των YZ,ZW,WX,XY

αντίστοιχα και X{X}',Y{Y}'

και

τα ζεύγη των υψών των τριγώνων $\vartriangle OXY,\vartriangle OZW$ αντίστοιχα , και $R\equiv Y{Y}'\cap Z{Z}',S\equiv X{X}'\cap W{W}'$ προφανώς τα ορθόκεντρα των τριγώνων $\vartriangle OYZ,\vartriangle OXW$ αντίστοιχα (από κατασκευής).

Είναι προφανές ότι ${{H}_{1}}R\parallel T{{H}_{2}}$ (κάθετες στην

) και ομοίως ${{H}_{1}}T\parallel {{H}_{2}}R$ (κάθετες στην

και συνεπώς το τετράπλευρο $R{{H}_{1}}T{{H}_{2}}$ είναι παραλληλόγραμμο , όπως βέβαια (βασική πρόταση σχολική) και το MSNP

είναι παραλληλόγραμμο (με κορυφές τα μέσα των διαγωνίων και δύο απέναντι πλευρών του τετραπλεύρου XZYW

)

: Προέκυψε, δύο ευθείες να τέμνονται κάθετα.png (43.25 KiB) Προβλήθηκε 207 φορές

$\bullet$ Από το τρίγωνο $\vartriangle ZYW\overset{M,S\,\,\mu \varepsilon \sigma \alpha \,\,\tau \omega \nu \,\,\delta \upsilon o\,\,\pi \lambda \varepsilon \upsilon \rho \omega \nu \,\,\tau o\upsilon }{\mathop{\Rightarrow }}\,MS=\parallel \dfrac{YW}{2}:\left( 1 \right)$ , άρα $MS\bot {{H}_{2}}R:\left( 2 \right)$ και ομοίως $SN=\parallel \dfrac{XZ}{2}:\left( 3 \right)$ , άρα $SN\bot R{{H}_{1}}:\left( 4 \right)$

Από $\left( 2 \right),\left( 4 \right)\Rightarrow \angle MSN=\angle {{H}_{2}}R{{H}_{1}}$ (κάθετες πλευρές του ίδιου προσανατολισμού ) και συνεπώς τα δύο ως άνω παραλληλόγραμμα έχουν τις γωνίες τους ίσες.

Από $\vartriangle {Z}'W{{H}_{2}}\overset{YR\parallel W{{H}_{2}}}{\mathop{\Rightarrow }}\,\dfrac{R{{H}_{2}}}{YW}=\dfrac{{Z}'R}{{Z}'Y}:\left( 5 \right)$ και από $\vartriangle {Y}'{{H}_{1}}X\overset{ZR\parallel X{{H}_{1}}}{\mathop{\Rightarrow }}\,\dfrac{R{{H}_{1}}}{ZX}=\dfrac{R{Y}'}{RZ}:\left( 6 \right)$

Όμως προφανώς τα ορθογώνια τρίγωνα $\vartriangle {Z}'RY,\vartriangle {Y}'RZ$ είναι όμοια και συνεπώς $\dfrac{{Z}'R}{{Z}'Y}=\dfrac{R{Y}'}{RZ}\overset{\left( 5 \right),\left( 6 \right)}{\mathop{\Rightarrow }}\,\dfrac{R{{H}_{2}}}{YW}=\dfrac{R{{H}_{1}}}{ZX}\overset{\left( 1 \right),\left( 3 \right)}{\mathop{\Rightarrow }}\,\dfrac{R{{H}_{2}}}{2MS}=\dfrac{R{{H}_{1}}}{2XZ}\Rightarrow \dfrac{R{{H}_{2}}}{MS}=\dfrac{R{{H}_{1}}}{XZ}:\left( 7 \right)$

$\bullet$ Από την $\left( 7 \right)$ και με δεδομένο ότι τα παραλληλόγραμμα $R{{H}_{1}}T{{H}_{2}}$ , MSNP

έχουν τις γωνίες τους ίσες προκύπτει ότι είναι όμοια (ίσες γωνίες και τις ομόλογες πλευρές τους ανάλογες) και συνεπώς και τα ομόλογα τρίγωνά του $\vartriangle R{{H}_{1}}{{H}_{2}},\vartriangle SNM$ θα είναι όμοια και επειδή έχουν τις δύο πλευρές τους κάθετες μια προς μία θα είναι κάθετες και οι τρίτες , δηλαδή θα είναι και $MN\bot {{H}_{1}}{{H}_{2}}:\left( 8 \right)$

Για τα βαρύκεντρα ${{G}_{1}},{{G}_{2}}$ επί των διαμέσων ON,OM

των τριγώνων $\vartriangle OYZ,\vartriangle OXW$ αντίστοιχα θα είναι $\dfrac{O{{G}_{1}}}{O{{G}_{2}}}=\dfrac{\dfrac{2}{3}ON}{\dfrac{2}{3}OM}=\dfrac{ON}{OM}\overset{\alpha \nu \tau \iota \sigma \tau \rho o\varphi o\,\,\Theta \alpha \lambda \eta }{\mathop{\Rightarrow }}\,{{G}_{1}}{{G}_{2}}\parallel MN\overset{\left( 8 \right)}{\mathop{\Rightarrow }}\,{{G}_{1}}{{G}_{2}}\bot {{H}_{1}}{{H}_{2}}$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί .

orestisgotsis · #3

Κύριε Στάθη σας ευχαριστώ πολύ.

Προέκυψε, δύο ευθείες να τέμνονται κάθετα

Προέκυψε, δύο ευθείες να τέμνονται κάθετα

Re: Προέκυψε, δύο ευθείες να τέμνονται κάθετα

Re: Προέκυψε, δύο ευθείες να τέμνονται κάθετα

Μέλη σε σύνδεση