Περί χορδών ο λόγος

#1

: Επώνυμη πρόταση.png (13.68 KiB) Προβλήθηκε 2142 φορές

Από σημείο

ενός κύκλου (O)

φέρνουμε τις χορδές AC, AB, AD

ώστε η

να διχοτομεί την γωνία $C\widehat AD.$

Από ένα άλλο σημείο A_1

του ίδιου κύκλου φέρνουμε τις χορδές A_1C_1, A_1B_1, A_1D_1

παράλληλες των AC, AB,

αντίστοιχα. Να δείξετε ότι $\displaystyle \frac{{AC + AD}}{{{A_1}{C_1} + {A_1}{D_1}}} = \frac{{AB}}{{{A_1}{B_1}}}.$

S.E.Louridas · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 13, 2023 7:22 pm
Από σημείο ενός κύκλου φέρνουμε τις χορδές ώστε η να διχοτομεί την γωνία $C\widehat AD.$
Από ένα άλλο σημείο του ίδιου κύκλου φέρνουμε τις χορδές παράλληλες των
αντίστοιχα. Να δείξετε ότι $\displaystyle \frac{{AC + AD}}{{{A_1}{C_1} + {A_1}{D_1}}} = \frac{{AB}}{{{A_1}{B_1}}}.$

Αν

οι προβολές των B, B_1

στις $AC, {A_1}{C_1}$ αντίστοιχα τα ορθογώνια τρίγωνα $ABQ, {A_1}{B_1} L$ θα είναι όμοια,

οπότε από το θεώρημα MacLaurin (*) (τουλάχιστον έτσι επονομαζόμενο μέχρι να κλείσει η εδώ κουβέντα μας (**)) τελειώσαμε,
αφού τα διπλά απλοποιούνται. Εδώ το θεώρημα MacLaurin μας δίνει: $\displaystyle{AQ=\frac{AC+AD}{2},\;\; A_1L=\frac{A_1C_1+A_1D_1}{2}.}$

: vsv.png (51.31 KiB) Προβλήθηκε 2077 φορές

(*) https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 98#p359998

(**) viewtopic.php?f=180&t=74294&p=360061#p360061

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 13, 2023 7:22 pm
Επώνυμη πρόταση.png
Από σημείο ενός κύκλου φέρνουμε τις χορδές ώστε η να διχοτομεί την γωνία $C\widehat AD.$

Από ένα άλλο σημείο του ίδιου κύκλου φέρνουμε τις χορδές παράλληλες των

αντίστοιχα. Να δείξετε ότι $\displaystyle \frac{{AC + AD}}{{{A_1}{C_1} + {A_1}{D_1}}} = \frac{{AB}}{{{A_1}{B_1}}}.$

Έστω

το μήκος των των ίσων τόξων CB,BD

,

το μήκος του τόξου DC_1

,

το μήκος

του τόξου C_1B_1

και

το μήκος του τόξου B_1D_1

Λόγω των παραλληλιών που δίνονται ,τα τόξα CC_1, BB_1, DD_1

είναι ίσα με το τόξο τόξο AA_1

Επομένως

απ όπου

edit: Η λύση με ομοιότητα είναι λανθασμένη. Η σωστή λύση (που ήταν και η πρώτη μου σκέψη)

είναι με θ.Πτολεμαίου στα ACBD,A_1C_1B_1D_1

όπως έγραψε κι ο Κώστας παρακάτω

Ευχαριστώ το Σωτήρη για την επισήμανση

: περί χορδών ο λόγος.png (13.78 KiB) Προβλήθηκε 2054 φορές

S.E.Louridas · #4

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 13, 2023 7:22 pm
Από σημείο ενός κύκλου φέρνουμε τις χορδές ώστε η να διχοτομεί την γωνία $C\widehat AD.$
Από ένα άλλο σημείο του ίδιου κύκλου φέρνουμε τις χορδές παράλληλες των
αντίστοιχα. Να δείξετε ότι $\displaystyle \frac{{AC + AD}}{{{A_1}{C_1} + {A_1}{D_1}}} = \frac{{AB}}{{{A_1}{B_1}}}.$

Απλά να αναφέρω ότι η ημέτερη διαπραγμάτευση θεώρησε όλες τις παράλληλες και ομόρροπες προς τις αρχικές ή όλες τις παράλληλες και αντίρροπες προς τις αρχικές. Έχω την αίσθηση ότι αν αυτό δεν συμβαίνει το πρόβλημα δεν ισχύει (έχω την αίσθηση).

#5

Φανερά

και

Τώρα, γράφουμε τις σχέσεις του Θ. Πτολεμαίου στα εγγεγραμμένα ACBD, A_1C_1B_1D_1

, τις διαιρούμε κατά μέλη, απλοποιούμε, και τελειώσαμε.

S.E.Louridas · #6

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 13, 2023 7:22 pm
Από σημείο ενός κύκλου φέρνουμε τις χορδές ώστε η να διχοτομεί την γωνία $C\widehat AD.$
Από ένα άλλο σημείο του ίδιου κύκλου φέρνουμε τις χορδές παράλληλες των
αντίστοιχα. Να δείξετε ότι $\displaystyle \frac{{AC + AD}}{{{A_1}{C_1} + {A_1}{D_1}}} = \frac{{AB}}{{{A_1}{B_1}}}.$

Βέβαια αν προεκτείνουμε την A C

κατά

και την

κατά

, τότε τα ισοσκελή τρίγωνα BAT, B_1 A_1 T_1

είναι όμοια οπότε και πάλι τελειώσαμε. Είναι καθαρό ότι AT=AC+AD, A_1T_1=A_1C_1+A_1D_1

: vsv.aggb.png (81.09 KiB) Προβλήθηκε 1951 φορές

S.E.Louridas · #7

Ας μου επιτραπεί και μια φιλικότατη ερώτηση στον εισηγητή του όμορφου αυτού θέματος:
Γιατί Γιώργο χαρακτηρίζεις το πρόβλημα αυτό "επώνυμη πρόταση";

#8

Ευχαριστώ τους Σωτήρη, Μιχάλη και Κώστα για τις άριστες αντιμετωπίσεις τους. Για ένα επιπλέον λόγο ευχαριστώ
τον Σωτήρη , ως "ηθικό αυτουργό", επειδή η άσκηση προέκυψε κατά την αναζήτηση της πατρότητας πρόσφατου
θέματος που εισηγήθηκε ο ίδιος.

S.E.Louridas έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 14, 2023 3:50 pm
Ας μου επιτραπεί και μια φιλικότατη ερώτηση στον εισηγητή του όμορφου αυτού θέματος:
Γιατί Γιώργο χαρακτηρίζεις το πρόβλημα αυτό "επώνυμη πρόταση";

Το παρόν θέμα, Σωτήρη, αλιεύτηκε από δύο εξαιρετικά βιβλία. Το ένα είναι το βιβλίο του Πέτρου Τόγκα, Θεωρητική
Γεωμετρία (25η έκδοση). Το θέμα αυτό υπάρχει στις άλυτες ασκήσεις για γενική επανάληψη του Γ' βιβλίου. Είναι η
άσκηση 1451 στη σελίδα 446.
Το άλλο είναι το βιβλίο Μεγάλη Γεωμετρία (1971) του Αριστείδου Πάλλα. Το θέμα υπάρχει ως θεώρημα στη σελίδα 43
(παράγραφος 73) του Β' τόμου .

Ας φτάσουμε και στο δια ταύτα. Χαρακτήρισα αυτό το θέμα "Επώνυμη πρόταση", γιατί και στα δύο βιβλία αναφέρεται ως
θεώρημα MacLaurin.

S.E.Louridas · #9

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 14, 2023 5:47 pm
Ευχαριστώ τους Σωτήρη, Μιχάλη και Κώστα για τις άριστες αντιμετωπίσεις τους. Για ένα επιπλέον λόγο ευχαριστώ
τον Σωτήρη , ως "ηθικό αυτουργό", επειδή η άσκηση προέκυψε κατά την αναζήτηση της πατρότητας πρόσφατου
θέματος που εισηγήθηκε ο ίδιος.

S.E.Louridas έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 14, 2023 3:50 pm
Ας μου επιτραπεί και μια φιλικότατη ερώτηση στον εισηγητή του όμορφου αυτού θέματος:
Γιατί Γιώργο χαρακτηρίζεις το πρόβλημα αυτό "επώνυμη πρόταση";
Το παρόν θέμα, Σωτήρη, αλιεύτηκε από δύο εξαιρετικά βιβλία. Το ένα είναι το βιβλίο του Πέτρου Τόγκα, Θεωρητική
Γεωμετρία (25η έκδοση). Το θέμα αυτό υπάρχει στις άλυτες ασκήσεις για γενική επανάληψη του Γ' βιβλίου. Είναι η
άσκηση 1451 στη σελίδα 446.
Το άλλο είναι το βιβλίο Μεγάλη Γεωμετρία (1971) του Αριστείδου Πάλλα. Το θέμα υπάρχει ως θεώρημα στη σελίδα 43
(παράγραφος 73) του Β' τόμου .

Ας φτάσουμε και στο δια ταύτα. Χαρακτήρισα αυτό το θέμα "Επώνυμη πρόταση", γιατί και στα δύο βιβλία αναφέρεται ως
θεώρημα MacLaurin.

Καλημέρα καλημέρα και Χρόνια Πολλά για Τη σημερινή μέρα της εορτής της Παναγίας που είναι και κορυφαία εορτή για τον Ελληνισμό.
Γιώργο η πληροφορία αυτή που έδωσες είναι ο ορισμός της σημαντικής.
Τελικά από ότι φαίνεται όταν υπάρχει γωνία $\angle xOy$ και σημεία αντίστοιχα στις πλευρές αυτής, ώστε να αναφέρεται το άθροισμα (ή και αντίστοιχος γραμμικός συνδυασμός του) με το ενδεχόμενο μάλιστα όταν κινούνται τα σημεία να διατηρείται το άθροισμα αυτό σταθερό οδηγεί σε MacLaurin. Εκείνο λοιπόν που σκέφτομαι είναι το ενδεχόμενο να έχει δημιουργήσει ο MacLaurin μία γενικότερη πρόταση - θεώρημα (οπότε μάλλον και προς τα εκεί θα πρέπει να ψάξουμε στο διεθνές περιβάλλον) και που με ειδικότερες συνθήκης ή μετασχηματισμούς να "πηγαίνει" στα θέματα που συζητάμε εδώ και που έτσι να αποδίδονται τελικά στον MacLaurin.

#10

Καλημέρα καλημέρα και Χρόνια Πολλά για Τη σημερινή μέρα της εορτής της Παναγίας που είναι και κορυφαία εορτή για τον Ελληνισμό.
Γιώργο η πληροφορία αυτή που έδωσες είναι ο ορισμός της σημαντικής.
Τελικά από ότι φαίνεται όταν υπάρχει γωνία $\angle xOy$ και σημεία αντίστοιχα στις πλευρές αυτής, ώστε να αναφέρεται το άθροισμα (ή και αντίστοιχος γραμμικός συνδυασμός του) με το ενδεχόμενο μάλιστα όταν κινούνται τα σημεία να διατηρείται το άθροισμα αυτό σταθερό οδηγεί σε MacLaurin. Εκείνο λοιπόν που σκέφτομαι είναι το ενδεχόμενο να έχει δημιουργήσει ο MacLaurin μία γενικότερη πρόταση - θεώρημα (οπότε μάλλον και προς τα εκεί θα πρέπει να ψάξουμε στο διεθνές περιβάλλον) και που με ειδικότερες συνθήκης ή μετασχηματισμούς να "πηγαίνει" στα θέματα που συζητάμε εδώ και που έτσι να αποδίδονται τελικά στον MacLaurin.
[/quote]

Χρόνια πολλά σε όλους!

Σωτήρη, να συμπληρώσω ότι η πρόταση αυτή υπάρχει και στην Γεωμετρία των Ιησουιτών Exercises de Geometrie par F.G.M. Είναι το θεώρημα 397 στην παράγραφο 1291, σελίδα 586 και αποδίδεται στον MacLaurin το 1743.

S.E.Louridas · #11

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 15, 2023 6:37 pm
... Σωτήρη, να συμπληρώσω ότι η πρόταση αυτή υπάρχει και στην Γεωμετρία των Ιησουιτών Exercises de Geometrie par F.G.M. Είναι το θεώρημα 397 στην παράγραφο 1291, σελίδα 586 και αποδίδεται στον MacLaurin το 1743.

Επιτρέψτε μου τη γνώμη μου.
Γιώργο πράγματι είδα το θέμα και την απόδειξη του που ανέφερες (μάλιστα στη δική μου μεταφρασμένη έκδοση είναι στις αρχές του 3ου τόμου)
θεωρώ ότι έλυσες το πρόβλημα της ονομασίας.
Καλώς λοιπόν αναφέρεται και για το εδώ περί ου ο λόγος θέμα σαν θεώρημα του MacLaurin
(και εννοώ αυτό που αναφέρεται στο άθροισμα και όχι στη γενίκευση που εξάλλου αναφέρεται ως τέτοια).
Πράγματι τότε παίρνουμε: Σε διαφορετικούς κύκλους αλλά διατηρούντες τις συγκεκριμένες παραλληλίες, αν τότε $\displaystyle \frac{{AC + AD}}{{{A_1}{C_1} + {A_1}{D_1}}} = \frac{{AB}}{{{A_1}{B_1}}}=1$ και αντίστροφα και έτσι εξηγείται για το σταθερό σημείο της διχοτόμου που αναφέρεται στο εδώ θέμα μας.
Έχουμε λοιπόν και στο δια ταύτα δύο τέλεια αλληλοσυνδεόμενες ισοδύναμες τελικά προτάσεις της ίδιας περίπου εποχής που οδηγούν
στο συμπέρασμα ότι είναι προτάσεις του ίδιου Μαθηματικού στην προκειμένη περίπτωση του MacLaurin.
Ελπίζοντας βέβαια να έδωσα να γίνει κατανοητή η σκέψη μου.

S.E.Louridas · #12

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 13, 2023 7:22 pm
Από σημείο ενός κύκλου φέρνουμε τις χορδές ώστε η να διχοτομεί την γωνία $C\widehat AD.$
Από ένα άλλο σημείο του ίδιου κύκλου φέρνουμε τις χορδές παράλληλες των
αντίστοιχα. Να δείξετε ότι $\displaystyle \frac{{AC + AD}}{{{A_1}{C_1} + {A_1}{D_1}}} = \frac{{AB}}{{{A_1}{B_1}}}.$

Καταρχάς η παραπάνω βασική πρόταση είναι το δεδηλωμένο θεώρημα 397 MacLaurin (1743) από τους Ιησουίτες. Η ημέτερη απόδειξη
όπως είδαμε είναι: Αν προεκτείνουμε την A C

κατά

και την

κατά

, τότε τα ισοσκελή τρίγωνα
BAT, B_1 A_1 T_1

είναι όμοια οπότε και πάλι τελειώσαμε. Είναι καθαρό ότι AT=AC+AD, A_1T_1=A_1C_1+A_1D_1

Ας συνοψίσουμε αιτιολογώντας την άποψη μου ότι δηλαδή το επονομαζόμενο θεώρημα 397 MacLaurin (1743) από τους Ιησουίτες οδηγεί στο ότι και το θεώρημα (Έστω γωνία $\angle xAy.$ επί των πλευρών της Ax, Ay

κινούνται τα σημεία C, D

αντίστοιχα, ώστε AC+AD=a

, όπου

δοθέν. Τότε ο περιγεγραμμένος κύκλος στο τρίγωνο ADC

διέρχεται από σταθερό σημείο

) του οποίου ζητάμε τη πατρότητα είναι του MacLaurin και αυτό επειδή έχουμε ταυτόσημη αντίληψη στη μέθοδο επίλυσης, τόσο που να καθιστά τις προτάσεις αυτές ισοδύναμες. Η απόδειξη που παρέθεσα για το θεώρημα 397 MacLaurin είναι: αν προεκτείνουμε την A C

κατά

και την

κατά

, τότε τα ισοσκελή τρίγωνα BAT, B_1 A_1 T_1

είναι όμοια και είναι ισοσκελή καθότι στο αριστερό μέρος στο σχήμα τα τρίγωνα ABD, BCT

προκύπτουν ίσα, άρα BA=BT.

… Για το (Έστω γωνία $\angle xAy.$ επί των πλευρών της Ax, Ay

κινούνται τα σημεία C, D

αντίστοιχα, ώστε AC+AD=a

, όπου

δοθέν. Τότε ο περιγεγραμμένος κύκλος στο τρίγωνο ADC

διέρχεται από σταθερό σημείο

) συνεχίζουμε Έτσι λοιπόν το

είναι σταθερό ως τομή δύο σταθερών γραμμών, της διχοτόμου της γωνίας $\angle xAy$ και της μεσοκάθετης του ευθύγραμμου τμήματος AT.

Σημαντική παρατήρηση:
Θα ήθελα να επισημάνω ότι οι δέσμες με βάση τις κορυφές αντίστοιχα, όπως τις βλέπουμε στο σχήμα με βάση και τις τομές, θα μπορούσαν να βρίσκονται σε διαφορετικούς κύκλους με διατήρηση όμως των αντίστοιχων παραλληλιών και να συνεχίσει να ισχύει η βασική πρόταση MacLaurin (Θεώρημα 397 Ιησουίτες).

: vsv.aggb.png (81.09 KiB) Προβλήθηκε 1722 φορές

S.E.Louridas · #13

S.E.Louridas έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 16, 2023 10:09 am

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 13, 2023 7:22 pm
Από σημείο ενός κύκλου φέρνουμε τις χορδές ώστε η να διχοτομεί την γωνία $C\widehat AD.$
Από ένα άλλο σημείο του ίδιου κύκλου φέρνουμε τις χορδές παράλληλες των
αντίστοιχα. Να δείξετε ότι $\displaystyle \frac{{AC + AD}}{{{A_1}{C_1} + {A_1}{D_1}}} = \frac{{AB}}{{{A_1}{B_1}}}.$
Καταρχάς η παραπάνω βασική πρόταση είναι το δεδηλωμένο θεώρημα 397 MacLaurin (1743) από τους Ιησουίτες. Η ημέτερη απόδειξη
όπως είδαμε είναι: Αν προεκτείνουμε την κατά και την κατά , τότε τα ισοσκελή τρίγωνα
είναι όμοια οπότε και πάλι τελειώσαμε. Είναι καθαρό ότι

Ας συνοψίσουμε αιτιολογώντας την άποψη μου ότι δηλαδή το επονομαζόμενο θεώρημα 397 MacLaurin (1743) από τους Ιησουίτες οδηγεί στο ότι και το θεώρημα (Έστω γωνία $\angle xAy.$ επί των πλευρών της κινούνται τα σημεία αντίστοιχα, ώστε , όπου δοθέν. Τότε ο περιγεγραμμένος κύκλος στο τρίγωνο διέρχεται από σταθερό σημείο) του οποίου ζητάμε τη πατρότητα είναι του MacLaurin και αυτό επειδή έχουμε ταυτόσημη αντίληψη στη μέθοδο επίλυσης, τόσο που να καθιστά τις προτάσεις αυτές ισοδύναμες. Η απόδειξη που παρέθεσα για το θεώρημα 397 MacLaurin είναι: αν προεκτείνουμε την κατά και την κατά , τότε τα ισοσκελή τρίγωνα είναι όμοια και είναι ισοσκελή καθότι στο αριστερό μέρος στο σχήμα τα τρίγωνα προκύπτουν ίσα, άρα … Για το (Έστω γωνία $\angle xAy.$ επί των πλευρών της κινούνται τα σημεία αντίστοιχα, ώστε , όπου δοθέν. Τότε ο περιγεγραμμένος κύκλος στο τρίγωνο διέρχεται από σταθερό σημείο) συνεχίζουμε Έτσι λοιπόν το είναι σταθερό ως τομή δύο σταθερών γραμμών, της διχοτόμου της γωνίας $\angle xAy$ και της μεσοκάθετης του ευθύγραμμου τμήματος
Σημαντική παρατήρηση:
Θα ήθελα να επισημάνω ότι οι δέσμες με βάση τις κορυφές αντίστοιχα, όπως τις βλέπουμε στο σχήμα με βάση και τις τομές, θα μπορούσαν να βρίσκονται σε διαφορετικούς κύκλους με διατήρηση όμως των αντίστοιχων παραλληλιών και να συνεχίσει να ισχύει η βασική πρόταση MacLaurin (Θεώρημα 397 Ιησουίτες). vsv.aggb.png

Τελικά και πάλι έχουμε ένα θεώρημα MacLaurin που το ονομάζουμε έτσι ως άμεση συνέπεια του δηλωμένου ως MacLaurin στους Ιησουίτες ;
Η δική μου απάντηση είναι Ναι.
Και τούτο διότι: Το θεώρημα που αναφέρεται ως θεώρημα MacLaurin στους Ιησουίτες καταλήγει $\displaystyle{\frac{{AC + AD}}{{{A_1}{C_1} + {A_1}{D_1}}} = \frac{{AB}}{{{A_1}{B_1}}}.}$ Βασιζόμενοι τώρα στην Σημαντική Παρατήρηση που ανέφερα, στην γωνία π.χ. $\displaystyle{xAy}$ για δύο τυχόντες κύκλους $\displaystyle{(A,C,D), (A,C_1, D_1)}$ παίρνουμε $\displaystyle{\frac{{AC + AD}}{{A{C_1} + A{D_1}}} = \frac{{AB}}{{A{B_1}}},}$ οπότε από αυτή προκύπτει η ισοδυναμία: $\displaystyle{AC + AD = A{C_1} + A{D_1} \Leftrightarrow AB = A{B_1} \Leftrightarrow B \equiv {B_1}.}$

Μη ξεχνάμε δε τον ταυτόσημο τρόπο απόδειξης τους (που ως προς το γεγονός αυτό τα καθιστά ισοδύναμα όπως ήδη έχω αναφέρει), αν τα δούμε ανεξάρτητα.

#14

S.E.Louridas έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 17, 2023 9:22 am

S.E.Louridas έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 16, 2023 10:09 am

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 13, 2023 7:22 pm
Από σημείο ενός κύκλου φέρνουμε τις χορδές ώστε η να διχοτομεί την γωνία $C\widehat AD.$
Από ένα άλλο σημείο του ίδιου κύκλου φέρνουμε τις χορδές παράλληλες των
αντίστοιχα. Να δείξετε ότι $\displaystyle \frac{{AC + AD}}{{{A_1}{C_1} + {A_1}{D_1}}} = \frac{{AB}}{{{A_1}{B_1}}}.$
Καταρχάς η παραπάνω βασική πρόταση είναι το δεδηλωμένο θεώρημα 397 MacLaurin (1743) από τους Ιησουίτες. Η ημέτερη απόδειξη
όπως είδαμε είναι: Αν προεκτείνουμε την κατά και την κατά , τότε τα ισοσκελή τρίγωνα
είναι όμοια οπότε και πάλι τελειώσαμε. Είναι καθαρό ότι

Ας συνοψίσουμε αιτιολογώντας την άποψη μου ότι δηλαδή το επονομαζόμενο θεώρημα 397 MacLaurin (1743) από τους Ιησουίτες οδηγεί στο ότι και το θεώρημα (Έστω γωνία $\angle xAy.$ επί των πλευρών της κινούνται τα σημεία αντίστοιχα, ώστε , όπου δοθέν. Τότε ο περιγεγραμμένος κύκλος στο τρίγωνο διέρχεται από σταθερό σημείο) του οποίου ζητάμε τη πατρότητα είναι του MacLaurin και αυτό επειδή έχουμε ταυτόσημη αντίληψη στη μέθοδο επίλυσης, τόσο που να καθιστά τις προτάσεις αυτές ισοδύναμες. Η απόδειξη που παρέθεσα για το θεώρημα 397 MacLaurin είναι: αν προεκτείνουμε την κατά και την κατά , τότε τα ισοσκελή τρίγωνα είναι όμοια και είναι ισοσκελή καθότι στο αριστερό μέρος στο σχήμα τα τρίγωνα προκύπτουν ίσα, άρα … Για το (Έστω γωνία $\angle xAy.$ επί των πλευρών της κινούνται τα σημεία αντίστοιχα, ώστε , όπου δοθέν. Τότε ο περιγεγραμμένος κύκλος στο τρίγωνο διέρχεται από σταθερό σημείο) συνεχίζουμε Έτσι λοιπόν το είναι σταθερό ως τομή δύο σταθερών γραμμών, της διχοτόμου της γωνίας $\angle xAy$ και της μεσοκάθετης του ευθύγραμμου τμήματος
Σημαντική παρατήρηση:
Θα ήθελα να επισημάνω ότι οι δέσμες με βάση τις κορυφές αντίστοιχα, όπως τις βλέπουμε στο σχήμα με βάση και τις τομές, θα μπορούσαν να βρίσκονται σε διαφορετικούς κύκλους με διατήρηση όμως των αντίστοιχων παραλληλιών και να συνεχίσει να ισχύει η βασική πρόταση MacLaurin (Θεώρημα 397 Ιησουίτες). vsv.aggb.png

Τελικά και πάλι έχουμε ένα θεώρημα MacLaurin που το ονομάζουμε έτσι ως άμεση συνέπεια του δηλωμένου ως MacLaurin στους Ιησουίτες ;
Η δική μου απάντηση είναι Ναι.
Και τούτο διότι: Το θεώρημα που αναφέρεται ως θεώρημα MacLaurin στους Ιησουίτες καταλήγει $\displaystyle{\frac{{AC + AD}}{{{A_1}{C_1} + {A_1}{D_1}}} = \frac{{AB}}{{{A_1}{B_1}}}.}$ Βασιζόμενοι τώρα στην Σημαντική Παρατήρηση που ανέφερα, στην γωνία π.χ. $\displaystyle{xAy}$ για δύο τυχόντες κύκλους $\displaystyle{(A,C,D), (A,C_1, D_1)}$ παίρνουμε $\displaystyle{\frac{{AC + AD}}{{A{C_1} + A{D_1}}} = \frac{{AB}}{{A{B_1}}},}$ οπότε από αυτή προκύπτει η ισοδυναμία: $\displaystyle{AC + AD = A{C_1} + A{D_1} \Leftrightarrow AB = A{B_1} \Leftrightarrow B \equiv {B_1}.}$

Συμφωνώ απόλυτα Σωτήρη. Πρόκειται στην ουσία για το ίδιο θεώρημα. (Το είχα γράψει χθες. Διέγραψα όμως την ανάρτηση γιατί δεν το είχα διατυπώσει σωστά).

Περί χορδών ο λόγος

Περί χορδών ο λόγος

Re: Περί χορδών ο λόγος

Re: Περί χορδών ο λόγος

Re: Περί χορδών ο λόγος

Re: Περί χορδών ο λόγος

Re: Περί χορδών ο λόγος

Re: Περί χορδών ο λόγος

Re: Περί χορδών ο λόγος

Re: Περί χορδών ο λόγος

Re: Περί χορδών ο λόγος

Re: Περί χορδών ο λόγος

Re: Περί χορδών ο λόγος

Re: Περί χορδών ο λόγος

Re: Περί χορδών ο λόγος

Μέλη σε σύνδεση