Παράξενη ισότητα

KARKAR · #1

: Περίεργη ισότητα.png (17.2 KiB) Προβλήθηκε 748 φορές

Με κέντρο το άκρο

, της διαμέτρου AOB=4r

, ενός κύκλου , γράφουμε τον κύκλο (B,r)

,

ο οποίος τέμνει τον μεγάλο - "βόρεια" - στο σημείο

. Η εφαπτομένη του μεγάλου κύκλου στο

,

τέμνει τον μικρό στο σημείο

, ενώ η

(ξανα)τέμνει τον μικρό στο

. Δείξτε ότι : PT=PS

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 06, 2023 12:27 pm
Περίεργη ισότητα.pngΜε κέντρο το άκρο , της διαμέτρου , ενός κύκλου , γράφουμε τον κύκλο ,

ο οποίος τέμνει τον μεγάλο - "βόρεια" - στο σημείο . Η εφαπτομένη του μεγάλου κύκλου στο ,

τέμνει τον μικρό στο σημείο , ενώ η (ξανα)τέμνει τον μικρό στο . Δείξτε ότι : .

: Παράξενη ισότητα.Κ.png (18.35 KiB) Προβλήθηκε 701 φορές

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 06, 2023 12:27 pm
Περίεργη ισότητα.pngΜε κέντρο το άκρο , της διαμέτρου , ενός κύκλου , γράφουμε τον κύκλο ,

ο οποίος τέμνει τον μεγάλο - "βόρεια" - στο σημείο . Η εφαπτομένη του μεγάλου κύκλου στο ,

τέμνει τον μικρό στο σημείο , ενώ η (ξανα)τέμνει τον μικρό στο . Δείξτε ότι : .

Λόγω της προφανούς ισότητας των γωνιών $\theta$ ,τα ισοσκελή τρίγωνα AOT,BTS

είναι όμοια,άρα $\dfrac{TA}{TS}= \dfrac{2r}{r}=2$

Το

είναι μέσον της

κι έστω

Ισχύει

και

και με διαίρεση $( \dfrac{AT}{TS})^2= \dfrac{AP}{x}=4 \Rightarrow AP=4x$

Έτσι, $\dfrac{AP}{PS}= \dfrac{4x}{2x}=2= \dfrac{TA}{TS}$ άρα

είναι διχοτόμος της γωνίας ATS

Επομένως $\angle PTS= \angle ATP= \angle TSP \Rightarrow PT=PS$

: Παράξενη ισότητα.png (26.31 KiB) Προβλήθηκε 672 φορές

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 06, 2023 12:27 pm
Περίεργη ισότητα.pngΜε κέντρο το άκρο , της διαμέτρου , ενός κύκλου , γράφουμε τον κύκλο ,

ο οποίος τέμνει τον μεγάλο - "βόρεια" - στο σημείο . Η εφαπτομένη του μεγάλου κύκλου στο ,

τέμνει τον μικρό στο σημείο , ενώ η (ξανα)τέμνει τον μικρό στο . Δείξτε ότι : .

Ας είναι

το σημείο τομής του κύκλου $\left( {O,2r} \right)$ με το

. Φέρνω την

που τέμνει ακόμα τον $\left( {O,2r} \right)$ στο

.

Η ευθεία

τέμνει ακόμα τον $\left( {B,r} \right)$ στο

. Επειδή $BM \bot PS$ το

είναι μέσο της χορδής

.

Μετά απ’ αυτά , το ισοσκελές τρίγωνο OTB

έχει την κάθε ίση του πλευρά διπλάσια της βάσης του

.

: Παράξενη ισότητα_new.png (55.44 KiB) Προβλήθηκε 633 φορές

Όμως το $\vartriangle OTB$ είναι όμοιο με το $\vartriangle DCE$ άρα και με το $\vartriangle DPT$ , το τετράπλευρο TPSE

είναι ισοσκελές τραπέζιο .

Τα τετράπλευρα $TPME\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TMSE$ είναι παραλληλόγραμμα , ενώ το $\vartriangle OBT$ είναι όμοιο με τα : $\vartriangle TPM\,\,,\,\,\vartriangle EMS\,\,\,\left( {\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle TCS} \right)$ .

Δηλαδή τελικά: PS = 2PM = PT

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 06, 2023 12:27 pm
Περίεργη ισότητα.pngΜε κέντρο το άκρο , της διαμέτρου , ενός κύκλου , γράφουμε τον κύκλο ,

ο οποίος τέμνει τον μεγάλο - "βόρεια" - στο σημείο . Η εφαπτομένη του μεγάλου κύκλου στο ,

τέμνει τον μικρό στο σημείο , ενώ η (ξανα)τέμνει τον μικρό στο . Δείξτε ότι : .

Με Π. Θ βρίσκω $AT=r\sqrt{15}.$ Αλλά, $\displaystyle AP \cdot AS = A{T^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{AP \cdot AS = 15{r^2}}$ (1)

Από τα όμοια τρίγωνα OAT, BTS

είναι

: Παράξενη ισότητα.β.png (17.14 KiB) Προβλήθηκε 567 φορές

$\displaystyle A\widehat TS = 90^\circ + \varphi \Leftrightarrow \cos (A\widehat TS) = \cos (90^\circ + \varphi ) = - \sin\varphi = - \frac{1}{4}$ και με νόμο συνημιτόνου στο ATS

προκύπτει $AS=\dfrac{3r\sqrt{10}}{2}.$ Εύκολα τώρα από την (1)

παίρνω

οπότε από το αντίστροφο του

θεωρήματος διχοτόμου είναι $\displaystyle P\widehat TS = A\widehat TP = T\widehat SP \Leftrightarrow$ $\boxed{PT=PS}$

Παράξενη ισότητα

Παράξενη ισότητα

Re: Παράξενη ισότητα

Re: Παράξενη ισότητα

Re: Παράξενη ισότητα

Re: Παράξενη ισότητα

Μέλη σε σύνδεση