Σταθερό γινόμενο τμημάτων

#1

: Σταθερό γινόμενο τμημάτων.png (12.3 KiB) Προβλήθηκε 973 φορές

Δίνεται κύκλος διαμέτρου AOB=2R

και έστω

το μέσο της ακτίνας OB.

Τυχούσα χορδή

διέρχεται από το

Η εφαπτομένη του κύκλου στο

τέμνει τις AK, AL

στα

αντίστοιχα. Να δείξετε ότι το γινόμενο $BS\cdot BT$

είναι σταθερό, ανεξάρτητο από τη θέση των σημείων K, L

στον κύκλο.

S.E.Louridas · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 03, 2023 7:14 pm
Σταθερό γινόμενο τμημάτων.png
Δίνεται κύκλος διαμέτρου και έστω το μέσο της ακτίνας Τυχούσα χορδή διέρχεται από το
Η εφαπτομένη του κύκλου στο τέμνει τις στα αντίστοιχα. Να δείξετε ότι το γινόμενο $BS\cdot BT$
είναι σταθερό, ανεξάρτητο από τη θέση των σημείων στον κύκλο.

Από τις αντίστοιχες ομοιότητες των $\left( {\vartriangle SBK \sim \;\vartriangle ABK} \right),\,\;\left( {\vartriangle TBL\sim \;\vartriangle ABL} \right),$

τελικά προκύπτει $\displaystyle{SB \cdot BT = 4{R^2}\frac{{BK \cdot BL}}{{AK \cdot AL}} = 4{R^2}\frac{{2RBB'}}{{2RAA'}} = \frac{{4{R^2}}}{3},\;\,ct.,}$

αν BB΄, AA΄

οι αποστάσεις των B, A

από τη χορδή KL.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 03, 2023 7:14 pm
Σταθερό γινόμενο τμημάτων.png
Δίνεται κύκλος διαμέτρου και έστω το μέσο της ακτίνας Τυχούσα χορδή διέρχεται από το

Η εφαπτομένη του κύκλου στο τέμνει τις στα αντίστοιχα. Να δείξετε ότι το γινόμενο $BS\cdot BT$

είναι σταθερό, ανεξάρτητο από τη θέση των σημείων στον κύκλο.

Θεωρώντας τον περίκυκλο του τριγώνου ATS

είναι προφανής η ισότητα των πράσινων γωνιών,οπότε τα L,M,P,T

είναι ομοκυκλικά.

Άρα $AM.AP=AL.AT=4R^2 \Rightarrow \dfrac{3R}{2} .AP=4R^2 \Rightarrow AP= \dfrac{8R}{3} \Rightarrow BP= \dfrac{2R}{3}$

Έτσι $BS.BT=2R.\dfrac{2R}{3} = \dfrac{4R^2}{3}=ct$

: σταθερό γινόμενο τμημάτων.png (20.28 KiB) Προβλήθηκε 906 φορές

#4

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 03, 2023 7:14 pm
Σταθερό γινόμενο τμημάτων.png
Δίνεται κύκλος διαμέτρου και έστω το μέσο της ακτίνας Τυχούσα χορδή διέρχεται από το

Η εφαπτομένη του κύκλου στο τέμνει τις στα αντίστοιχα. Να δείξετε ότι το γινόμενο $BS\cdot BT$

είναι σταθερό, ανεξάρτητο από τη θέση των σημείων στον κύκλο.

Επειδή από το Θ. Ευκλείδη στα ορθογώνια τρίγωνα , $BSA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BAT$ ισχύει:

$AK \cdot AS = AL \cdot AT = A{B^2},$ τα σημεία K,L,T,S

ανήκουν σε ένα κύκλο , έστω

.

Σ αυτό τον κύκλο έστω

το αντιδιαμετρικό του

και γράφω τον κύκλο , έστω

που διέρχεται από τα A,K,N

.

Η

τέμνει τον κύκλο

στο

. Θα είναι , $SG \bot NG$ και αφού $AK \bot KN$ αναγκαστικά η

θα διέρχεται από το

.

: Σταθερό γινόμενο τμημάτων_new_με αντιστροφή.png (35.99 KiB) Προβλήθηκε 830 φορές

Έστω $AO = R = 2k\,\,,\,\,k > 0$ . Αντιστρέφω τώρα τον κύκλο

με πόλο το

και δύναμη αντιστροφής , $\lambda = AB = 4k$ .

Θα προκύψει ευθεία $\varepsilon$ που θα διέρχεται από τα S,M,G

. η εικόνα του

, σ αυτό το μετασχηματισμό έστω

.

Θέτω

κι επειδή $AM \cdot AF = {\lambda ^2} \Rightarrow 3kx = 16{k^2}$ , οπότε το

είναι σταθερό σημείο , ανεξαρτήτως των $K\,\,,\,\,L$ .

Αφού τώρα , $\boxed{x = \frac{{16k}}{3} - 4k = \frac{{4k}}{3}}\,\,\left( 1 \right)$ έχω: $\boxed{BS \cdot BT = BK \cdot BN = BA \cdot BF = 4k\frac{{4k}}{3} = \frac{{4{R^2}}}{3}}$ σταθερό .

Παρατήρηση .

Νομίζω η άσκηση ισχύει για οποιοδήποτε , σταθερό σημείο του και όχι κατ’ ανάγκη του μέσου.

#5

Doloros έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 05, 2023 9:34 am

Παρατήρηση .

Νομίζω η άσκηση ισχύει για οποιοδήποτε , σταθερό σημείο του και όχι κατ’ ανάγκη του μέσου.

Έχεις δίκιο Νίκο. Είδα ότι με το

μέσο το γινόμενο έβγαινε $\dfrac{4R^2}{3}$ και δεν έκανα τον κόπο να ελέγξω

τι συμβαίνει αν το

είναι σταθερό σημείο του OB.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 05, 2023 5:02 pm

Doloros έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 05, 2023 9:34 am

Παρατήρηση .

Νομίζω η άσκηση ισχύει για οποιοδήποτε , σταθερό σημείο του και όχι κατ’ ανάγκη του μέσου.
Έχεις δίκιο Νίκο. Είδα ότι με το μέσο το γινόμενο έβγαινε $\dfrac{4R^2}{3}$ και δεν έκανα τον κόπο να ελέγξω

τι συμβαίνει αν το είναι σταθερό σημείο του

Νομίζω ότι είναι φανερό ( μιλώ για τη δική μου ανάρτηση) ότι αν

σταθερό,τότε και

σταθερό,συνεπώς BT.BS

σταθερό

S.E.Louridas · #7

S.E.Louridas έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 03, 2023 9:54 pm

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 03, 2023 7:14 pm
Σταθερό γινόμενο τμημάτων.png
Δίνεται κύκλος διαμέτρου και έστω το μέσο της ακτίνας Τυχούσα χορδή διέρχεται από το
Η εφαπτομένη του κύκλου στο τέμνει τις στα αντίστοιχα. Να δείξετε ότι το γινόμενο $BS\cdot BT$
είναι σταθερό, ανεξάρτητο από τη θέση των σημείων στον κύκλο.
Από τις αντίστοιχες ομοιότητες των $\left( {\vartriangle SBK \sim \;\vartriangle ABK} \right),\,\;\left( {\vartriangle TBL\sim \;\vartriangle ABL} \right),$

τελικά προκύπτει $\displaystyle{SB \cdot BT = 4{R^2}\frac{{BK \cdot BL}}{{AK \cdot AL}} = 4{R^2}\frac{{2RBB'}}{{2RAA'}} = \frac{{4{R^2}}}{3},\;\,ct.,}$

αν οι αποστάσεις των από τη χορδή

Για το σταθερό σημείο

έχουμε:
Από τις αντίστοιχες ομοιότητες των $\left( {\vartriangle SBK \sim \;\vartriangle ABK} \right),\,\;\left( {\vartriangle TBL\sim \;\vartriangle ABL} \right),$

τελικά προκύπτει $\displaystyle{SB \cdot BT = 4{R^2}\frac{{BK \cdot BL}}{{AK \cdot AL}} = 4{R^2}\frac{{2RBB'}}{{2RAA'}} = 4{R^2} \frac{MB}{MA},\;\,ct.,}$

αν BB΄, AA΄

οι αποστάσεις των B, A

από τη χορδή KL.

Ας μη ξεχνάμε βέβαια ότι σε εγγεγραμμένο τρίγωνο ABC

σε κύκλο ακτίνας

ισχύει γενικά ότι $AB \cdot AC = 2R \cdot AA',$ αν AA΄

είναι το ύψος από τη κορυφή

: FG.png (54.94 KiB) Προβλήθηκε 687 φορές

Σταθερό γινόμενο τμημάτων

Σταθερό γινόμενο τμημάτων

Re: Σταθερό γινόμενο τμημάτων

Re: Σταθερό γινόμενο τμημάτων

Re: Σταθερό γινόμενο τμημάτων

Re: Σταθερό γινόμενο τμημάτων

Re: Σταθερό γινόμενο τμημάτων

Re: Σταθερό γινόμενο τμημάτων

Μέλη σε σύνδεση