Εντοπισμός σημείου σε ημικύκλιο

#1

: Εντοπισμός σημείου σε ημικύκλιο.png (9.66 KiB) Προβλήθηκε 1273 φορές

Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου

και ημιευθεία

που τέμνει το ημικύκλιο. Να εντοπίσετε σημείο

του

ημικυκλίου, ώστε αν

είναι η προβολή του στη διάμετρο, η

να διέρχεται από το μέσο

του

#2

george visvikis έγραψε: Τετ Μάιος 31, 2023 4:49 pm Εντοπισμός σημείου σε ημικύκλιο.png
Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου και ημιευθεία που τέμνει το ημικύκλιο. Να εντοπίσετε σημείο του

ημικυκλίου, ώστε αν είναι η προβολή του στη διάμετρο, η να διέρχεται από το μέσο του

Το

είναι το σημείο τομής της

με το ημικύκλιο , με $S\ne B$ , όπου

είναι το συμμετρικό του

ως προς το

, όπου

είναι το σημείο τομής της εφαπτόμενης του ημικυκλίου στο

με την ημιευθεία

(η απόδειξη με το θεώρημα της κεντρικής δέσμης και της παραλληλίας $AD\parallel ST$ )

Γιώργος Μήτσιος · #3

Καλό μήνα σε όλους!

: 1-6 Εντοπισμός σημείου...png (142.5 KiB) Προβλήθηκε 1215 φορές

Το $E \in Bx$ ώστε $EA \perp AB$ . Με

εφαπτόμενο , $ST \perp AB$ , αρκεί η τομή

των

να είναι το μέσον του

Έστω

η τομή των BA,SE

. Είναι $\dfrac{ST}{AE}=\dfrac{PT}{PA}$ και $\dfrac{MT}{AE}=\dfrac{BT}{AB}$ . Αρκεί να δείξουμε $\dfrac{PT}{PA}=2\dfrac{BT}{AB}..(1)$

Με σημείο αναφοράς το κέντρο

και

η

γίνεται

$AB\cdot PT= 2PA\cdot BT\Leftrightarrow R\left ( OP-OT \right )=\left ( OP-R \right )\left ( OT+R \right ) \Leftrightarrow ..R^2=OP\cdot OT$

που ισχύει (θ. Ευκλείδη στο ορθογώνιο τρίγωνο POS

). Φιλικά, Γιώργος.

#4

Καλημέρα Γιώργηδες, καλημέρα Στάθη, από το χωριό Ελατού ορεινής Ναυπακτίας.

$\bullet$ Έστω ότι έχει βρεθεί το σημείο $S\in (O)$ , όπου (O)

είναι το δοσμένο ημικύκλιο διαμέτρου

, ώστε να ισχύει SM = MT.

Έστω το σημείο $M'\equiv (O)\cap Bx$ και ας είναι

, η προβολή του επί της

και έστω το σημείο $S'\equiv M'T'\cap BS.$

Από $MS\parallel M'S'$ και $MS = MT\Rightarrow$ $M'S' = M'T'\ \ \ ,(1)$

Από (1)

συμπεραίνεται ότι το σημείο

είναι σταθερό και το πρόβλημα έχει λυθεί.

Κώστας Βήττας.

#5

george visvikis έγραψε: Τετ Μάιος 31, 2023 4:49 pm Εντοπισμός σημείου σε ημικύκλιο.png
Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου και ημιευθεία που τέμνει το ημικύκλιο. Να εντοπίσετε σημείο του

ημικυκλίου, ώστε αν είναι η προβολή του στη διάμετρο, η να διέρχεται από το μέσο του

: Εντοπισμός σημείου σε ημικύκλιο_κατασκευή.png (20.85 KiB) Προβλήθηκε 1147 φορές

Το $\vartriangle ABC$ είναι σταθερό ( άλλαξα και τα γράμματα των κορυφών).

Επειδή : $\left\{ \begin{gathered} \frac{x}{c} = \frac{y}{a} \hfill \\ x \cdot 3x = y\left( {b - y} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{x = \frac{{abc}}{{{a^2} + 3{c^2}}}}$ .

Υψώνω στο $B\,$ (η το

) κάθετο τμήμα, μήκους

και μετά ( απο το πέρας του) παράλληλη στην

και βρίσκω το

.

#6

Kαλησπέρα σε όλους. Απέφυγα να δω τις προτεινόμενες λύσεις, για να μην επηρεαστώ. Ίσως η προσέγγισή μου να συμπίπτει με κάποια από τις παραπάνω, των εκλεκτών φίλων του

: 01-06-2023 Γεωμετρία.jpg (29.56 KiB) Προβλήθηκε 1095 φορές

Ανάλυση:
Έστω ότι εντoπίσαμε το σημείο

. Τότε, θα είναι $\displaystyle ST = 2MT \Rightarrow \frac{{ST}}{{TB}} = 2\frac{{MT}}{{TB}} \Rightarrow \varepsilon \varphi {\rm B} = 2\varepsilon \varphi \omega$

Κατασκευή:
Έχουμε ένα σταθερό ημικύκλιο, διαμέτρου

. Έχουμε σταθερή ημιευθεία

, η οποία τέμνει τον κύκλο στο

. Προεκτείνουμε την

, κάθετη της

, κατά ίσο τμήμα

. Η

τέμνει τον κύκλο στο ζητούμενο σημείο

.

Απόδειξη προφανής. Το πρόβλημα έχει (προφανώς) πάντα μία λύση.

#7

Ευχαριστώ τους φίλους Στάθη, Γιώργο Μήτσιο, Κώστα, Νίκο και Γιώργο Ρίζο για τις απαντήσεις τους.

Η άσκηση κατασκευάστηκε με βάση την απόδειξη του Γιώργου Μήτσιου. Η αρχική άσκηση ήταν η εξής:

: ΕΓΒ.png (13.19 KiB) Προβλήθηκε 1035 φορές

Φέρνω τις εφαπτόμενες ενός ημικυκλίου στα άκρα A, B

της διαμέτρου AB.

Μία τρίτη εφαπτομένη σε ένα σημείο

του

ημικυκλίου, τέμνει τις προηγούμενες στα σημεία D, C.

Αν οι

τέμνονται στο

να δείξετε ότι $SM\bot AB$ και

είναι το μέσο του ST,

όπου

το σημείο τομής των SM, AB.

Προτίμησα όμως να τη μετατρέψω σε άσκηση κατασκευής.

Γιώργος Μήτσιος · #8

Χαιρετώ και πάλι!
Μου άρεσε ιδιαίτερα η κατασκευή του Γιώργου Ρίζου ! Με το ίδιο σκεπτικό ας δούμε μια γενικότερη κατασκευή:

: 5-6 Κατασκευή..png (109.04 KiB) Προβλήθηκε 954 φορές

Στο σχήμα φέρουμε $PIN \perp BA$ σε τυχαίο σημείο της

. Παίρνουμε $\dfrac{NI}{IP}=\lambda$ .

Από κάθε σημείο

της

φέροντας $SMT \perp BA$ (*) , προφανώς ισχύει $\dfrac{SM}{MT} = \dfrac{NI}{IP}=\lambda$

Ειδικά για την αρχική κατασκευή παίρνουμε $\lambda=1$ , ενώ το

ανήκει και στο ημικύκλιο διαμέτρου

(*) Αρκεί μόνο να είναι $PN \parallel ST$ .. Φιλικά, Γιώργος.

Εντοπισμός σημείου σε ημικύκλιο

Εντοπισμός σημείου σε ημικύκλιο

Re: Εντοπισμός σημείου σε ημικύκλιο

Re: Εντοπισμός σημείου σε ημικύκλιο

Re: Εντοπισμός σημείου σε ημικύκλιο

Re: Εντοπισμός σημείου σε ημικύκλιο

Re: Εντοπισμός σημείου σε ημικύκλιο

Re: Εντοπισμός σημείου σε ημικύκλιο

Re: Εντοπισμός σημείου σε ημικύκλιο

Μέλη σε σύνδεση