Σχέση ακτίνων και κοινή εφαπτομένη

#1

: Σχέση ακτίνων και εφαπτομένη.png (19.92 KiB) Προβλήθηκε 295 φορές

Σε ορθογώνιο τρίγωνο ABC

η υποτείνουσα έχει μέσο

και σταθερό μήκος BC=4,

ενώ οι κάθετες

πλευρές μεταβάλλονται. Οι κύκλοι (K,r), (L,R)

είναι περιγεγραμμένοι στα τρίγωνα ABM, ACM

και

είναι κοινό εξωτερικό εφαπτόμενο τμήμα των δύο κύκλων.

Α) Να δείξετε ότι $\displaystyle \frac{1}{{{R^2}}} + \frac{1}{{{r^2}}} = 1$

Β) Να βρείτε το μήκος της προβολής του

στην

abgd · #2

: efapt.png (48.68 KiB) Προβλήθηκε 258 φορές

α) Εύκολα δείχνουμε ότι το τρίγωνο KML

είναι ορθογώνιο με ύψος MD=1

και έτσι, από γνωστή μετρική, έχουμε το ζητούμενο

$\displaystyle{\frac{1}{R^2}+\frac{1}{r^2}=\frac{1}{MD^2}=1}$

β) Στο ορθογώνιο τρίγωνο KNL

είναι: $\displaystyle{KN^2=KL^2-(R-r)^2=R^2+r^2-R^2-r^2+2rR=2rR}$

Άρα $\displaystyle{KN=PT=\sqrt{2rR}}$

Έστω $\displaystyle{P'T' =x}$ οπότε και $\displaystyle{PS =x}$

Από την ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων $\displaystyle{ PST, TT'L,PP'K}$ έχουμε ότι: $\displaystyle{ TT'=\frac{xR}{PT}}$ και $\displaystyle{ PP'=\frac{xr}{PT}}$

Στο ορθογώνιο $\displaystyle{ PST}$ είναι: $\displaystyle{ x^2=PT^2-(TT'-PP')^2=PT^2-\frac{x^2}{PT^2}\cdot (R-r)^2}$

Όμως $\displaystyle{PT^2=2rR}$ και έτσι προκύπτει ότι: $\displaystyle{x^2(R^2+r^2)=4R^2r^2 \Rightarrow x^2\left(\frac{1}{R^2}+\frac{1}{r^2}\right)=4}$

και με τη βοήθεια του α) έχουμε $\displaystyle{\bf x=2}$

Σχέση ακτίνων και κοινή εφαπτομένη

Σχέση ακτίνων και κοινή εφαπτομένη

Re: Σχέση ακτίνων και κοινή εφαπτομένη

Μέλη σε σύνδεση