Άλλη μια όμορφη καθετότητα

[KARKAR]

Άλλη μια όμορφη καθετότητα.png (14.78 KiB) Προβλήθηκε 483 φορές

Το είναι το ορθόκεντρο του οξυγωνίου τριγώνου . Η διάμεσος ,

τέμνει - προεκτεινόμενη - τον περίκυκλο του τριγώνου στο σημείο και έστω

, το συμμετρικό του , ως προς . Δείξτε ότι : .

[Doloros]

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Άλλη μια όμορφη καθετότητα.pngΤο είναι το ορθόκεντρο του οξυγωνίου τριγώνου . Η διάμεσος ,

τέμνει - προεκτεινόμενη - τον περίκυκλο του τριγώνου στο σημείο και έστω

, το συμμετρικό του , ως προς . Δείξτε ότι : .

άλλη μια όμορφη καθετότητα.png (33.28 KiB) Προβλήθηκε 450 φορές

[ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ]

Άλλη μια όμορφη καθετότητα.pngΤο είναι το ορθόκεντρο του οξυγωνίου τριγώνου . Η διάμεσος ,

τέμνει - προεκτεινόμενη - τον περίκυκλο του τριγώνου στο σημείο και έστω

, το συμμετρικό του , ως προς . Δείξτε ότι : .

Το συμμετρικό του ως προς το είναι το αντιδιαμετρικό του ( γνωστή πρόταση ) αρα το είναι παράλληλογραμο ( οι διαγωνιες διχοτομούνται ) και αφού ειναι κάθετη στην ( απο την διάμετρο ) και η παράλληλος της θα ειναι κάθετη σε αυτή και το ζητούμενο εχει αποδειχτεί

[Μιχάλης Τσουρακάκης]

Άλλη μια όμορφη καθετότητα.pngΤο είναι το ορθόκεντρο του οξυγωνίου τριγώνου . Η διάμεσος ,

τέμνει - προεκτεινόμενη - τον περίκυκλο του τριγώνου στο σημείο και έστω

, το συμμετρικό του , ως προς . Δείξτε ότι : .

Έστω το περίκεντρο του τριγώνου ,το ύψος του και

Είναι παραλ/μμο ,άρα

οπότε, παραλ/μμο κι επειδή

(Το χρόνο που έλυσα και πληκτρολόγησα τη λύση μου έγινε η ανάρτηση του Στάθη που γράφει ακριβώς την ίδια λύση την οποία είδα τώρα

Αφήνω τη δική μου λύση γιατί περιέχει την απόδειξη της γνωστής πρότασης που αναφέρει ο Στάθης)

Όμορφη καθετότητα.png (22.1 KiB) Προβλήθηκε 432 φορές

[george visvikis]

Άλλη μια όμορφη καθετότητα.pngΤο είναι το ορθόκεντρο του οξυγωνίου τριγώνου . Η διάμεσος ,

τέμνει - προεκτεινόμενη - τον περίκυκλο του τριγώνου στο σημείο και έστω

, το συμμετρικό του , ως προς . Δείξτε ότι : .

Μία μετρική.

Άλλη μια όμορφη καθετότητα.png (15.14 KiB) Προβλήθηκε 399 φορές

Άρα το είναι εγγράψιμο και το ζητούμενο έπεται.

[george visvikis]

Μία όμορφη παρατήρηση.

συντρέχουν στο Τ.png (17.77 KiB) Προβλήθηκε 344 φορές

Με τις προϋποθέσεις της αρχικής άσκησης, αν είναι ύψη του

να δείξετε ότι οι ευθείες διέρχονται από το ίδιο σημείο.

[ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ]

Μία όμορφη παρατήρηση. συντρέχουν στο Τ.png
Με τις προϋποθέσεις της αρχικής άσκησης, αν είναι ύψη του

να δείξετε ότι οι ευθείες διέρχονται από το ίδιο σημείο.

Στο σχήμα του Γιώργου στην προηγούμενη ανάρτηση

Αν είναι το σημείο τομής της ημιευθείας με τον κύκλο , τότε επειδή η ημιευθεία διέρχεται από το αντιδιαμετρικό του , θα είναι ομοκυκλικά (σε κύκλο διαμέτρου και με ομοκυκλικα (σε κύκλο διαμέτρου ) οι διέρχονται από το ίδιο σημείο , ως το ριζικό κέντρο των ανά δύο τεμνομένων κύκλων
Τότε στο τρίγωνο οι είναι οι φορείς των δύο υψών τους και συνεπώς το είναι το ορθόκεντρο (και) αυτού του τριγώνου , συνεπώς συνευθειακά και συνεπώς οι διέρχονται από το ίδιο σημείο και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

[Henri van Aubel]

Μία όμορφη παρατήρηση. συντρέχουν στο Τ.png
Με τις προϋποθέσεις της αρχικής άσκησης, αν είναι ύψη του

να δείξετε ότι οι ευθείες διέρχονται από το ίδιο σημείο.

Υποθέτω ότι οι ευθείες , τέμνονται στο σημείο . Τότε, η είναι η πολική του ως προς τον κύκλο οπότε κι αφού (αρχική άσκηση KARKAR), έπεται η ζητούμενη συντρέχεια... (σημείωση: πατώντας τη φράση κλειδί ''όμορφη καθετότητα'', έπεσα πάνω σε αυτό το ωραίο ...)