Λόγοι και ισοσκελές - έκπληξη

KARKAR · #1

: Λόγοι και ισοσκελές - έκπληξη.png (15.21 KiB) Προβλήθηκε 775 φορές

Το σημείο

διαιρεί την διάμετρο

του κύκλου (O)

σε λόγο :

και τη χορδή

, σε λόγο : SM : MT=2:1

α) Επινοήστε έναν τρόπο κατασκευής του σχήματος .

β) Δείξτε ότι το τρίγωνο AMS

είναι ισοσκελές .

Γιώργος Μήτσιος · #2

Χαιρετώ!
Δίνω την κατασκευή με τη βοήθεια του ...KARKAR και θα επανέλθω για το β' ζητούμενο

: 3-4 Λόγοι και ισοσκελή.png (151.77 KiB) Προβλήθηκε 747 φορές

Το

είναι το μέσον του

. Η μεσοκάθετος του

τέμνει τον κύκλο στο

και η

τον επανατέμνει στο

. Φιλικά, Γιώργος.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Απρ 03, 2023 1:03 pm
Λόγοι και ισοσκελές - έκπληξη.pngΤο σημείο διαιρεί την διάμετρο του κύκλου σε λόγο :

και τη χορδή , σε λόγο :

α) Επινοήστε έναν τρόπο κατασκευής του σχήματος .

β) Δείξτε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές .

Για το β) ερώτημα.

: Λόγοι και ισοσκελή.png (12.15 KiB) Προβλήθηκε 730 φορές

$\displaystyle AM \cdot MB = SM \cdot MT \Leftrightarrow \frac{{3R}}{2} \cdot \frac{R}{2} = SM \cdot \frac{{SM}}{2} \Leftrightarrow$ $\boxed{S{M^2} = \frac{{3{R^2}}}{2}}$ (1)

$\rm Stewart$ στο τρίγωνο SAB:

$\displaystyle S{A^2} \cdot \frac{R}{2} + \left( {4{R^2} - S{A^2}} \right)\frac{{3R}}{2} = 2R \cdot S{M^2} + 2R \cdot \frac{R}{2} \cdot \frac{{3R}}{2}\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} S{A^2} = \frac{{3{R^2}}}{2},$ που αποδεικνύει το ζητούμενο.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Απρ 03, 2023 1:03 pm
Λόγοι και ισοσκελές - έκπληξη.pngΤο σημείο διαιρεί την διάμετρο του κύκλου σε λόγο :

και τη χορδή , σε λόγο :

α) Επινοήστε έναν τρόπο κατασκευής του σχήματος .

β) Δείξτε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές .

Είναι $OM=MB= \dfrac{R}{2} \Rightarrow AM= \dfrac{3R}{2}$

Με

μέσον του

το

είναι παραλ/μμο ,άρα οι πράσινες γωνίες είναι ίσες και το AONS

εγγράψιμμο

Έτσι $2x^2=\dfrac{R}{2} . \dfrac{3R}{2} \Rightarrow x= \dfrac{R\sqrt{6} }{4}$

Τα τρίγωνα OSN,OTM

προφανώς είναι ίσα (Π-Γ-Π) άρα ON=OM

και η γωνία OMS

είναι επίσης πράσινη,άρα SA=SM

: Λόγοι και ισοσκελές.png (24.16 KiB) Προβλήθηκε 709 φορές

Γιώργος Μήτσιος · #5

Επανέρχομαι για μια ακόμη κατασκευή αλλά και απόδειξη.

: 4-4 Λόγοι και ισοσκελή.png (186.41 KiB) Προβλήθηκε 676 φορές

Ας είναι

. Θεωρώ

και $OE \parallel BT$ (βλ. σχήμα). Η

τέμνει τον κύκλο στο

Τα τρίγωνα OME , BMT

είναι ισοσκελή και ίσα , άρα $\widehat{MOE}=\widehat{MBT}=\widehat{AST}$ δηλ. το OASE

εγγράψιμο.

Τότε και $\widehat{OME}=\widehat{OEM}=\widehat{SAM}$ συνεπώς SA=SM

. Μένει να δείξουμε ότι SM=2MT

Στο τρίγωνο BMT

είναι

και με Ν. Συνημιτόνων παίρνουμε $MT^2=3/2\Rightarrow MT=\sqrt{6}/2$

ενώ $SM\cdot MT=MA\cdot MB=3\Rightarrow SM=\sqrt{6}=2MT$ , που θέλαμε.

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Απρ 03, 2023 1:03 pm
Λόγοι και ισοσκελές - έκπληξη.pngΤο σημείο διαιρεί την διάμετρο του κύκλου σε λόγο :

και τη χορδή , σε λόγο :

α) Επινοήστε έναν τρόπο κατασκευής του σχήματος .

β) Δείξτε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές .

Γράφω τον κύκλο $\left( {B,BM} \right)\,\,,\,\,\boxed{BM = \dfrac{R}{4}}$ που τέμνει τον μεγάλο κύκλο «πάνω» στο

.

: λόγοι και ισοσκελές εκπληξη_new.png (17.64 KiB) Προβλήθηκε 670 φορές

Η

τέμνει ακόμα τον μεγάλο κύκλο στο

. Αν θεωρήσω τα μέσα , $D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E$ των χορδών $TM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TS$ ,

εύκολα προκύπτει ότι $SM = 2MT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SM = SA$ .

Λόγοι και ισοσκελές - έκπληξη

Λόγοι και ισοσκελές - έκπληξη

Re: Λόγοι και ισοσκελές - έκπληξη

Re: Λόγοι και ισοσκελές - έκπληξη

Re: Λόγοι και ισοσκελές - έκπληξη

Re: Λόγοι και ισοσκελές - έκπληξη

Re: Λόγοι και ισοσκελές - έκπληξη

Μέλη σε σύνδεση