Υπολογιστική κατασκευή

KARKAR · #1

: Υπολογιστική κατασκευή.png (11.81 KiB) Προβλήθηκε 148 φορές

Σε κύκλο διαμέτρου

, να κατασκευασθεί χορδή

, στην οποία αν φέρουμε το μεσοκάθετο

τμήμα

- το οποίο έχει μέσο το

- και την χορδή ANS

, να προκύψει : NS=MB

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 02, 2023 9:14 pm
Υπολογιστική κατασκευή.pngΣε κύκλο διαμέτρου , να κατασκευασθεί χορδή , στην οποία αν φέρουμε το μεσοκάθετο

τμήμα - το οποίο έχει μέσο το - και την χορδή , να προκύψει : .

Έστω ότι λύθηκε το πρόβλημα. Θεωρώ τη διάμετρο $\overline {AOC}$ και

το αντιδιαμετρικό του

.

Θέτω, $k = NM = NT\,\,,\,\,u = AN = NB\,\,,\,\,x = AM = MB = NS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MD = m$ .

Από τις δυνάμεις των $\,\,N\,\,,\,\,M$ και το Π. Θ. στο $\vartriangle MNA$ έχω :

: Υπολογιστκή κατασκευή_Ανάλυση.png (15.62 KiB) Προβλήθηκε 129 φορές

$\left\{ \begin{gathered} ux = k\left( {11 - k} \right)\,\,\left( 1 \right) \hfill \\ {x^2} = 2km = 2k\left( {11 - 2k} \right)\,\,\left( 2 \right) \hfill \\ {x^2} + {k^2} = {u^2}\,\,\left( 3 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Από τις δύο πρώτες διαγράφω το

και βρίσκω : $u = \dfrac{{\sqrt {2k} \left( {11 - 2k} \right)}}{{2\sqrt {11 - 2k} }}$

Έτσι η $\left( 3 \right)$ με τη βοήθεια της προηγουμένης και της $\left( 2 \right)$ δίδει: $88k\left( {{k^2} - 12k + 33} \right) = 0$ με μόνη δεκτή ρίζα την $k = 6 - \sqrt 3 \,\,\left( 4 \right)$ .

Τώρα εύκολα υπολογίζω το $\boxed{\,x = 2 \cdot {{108}^{\frac{1}{4}}} - {{12}^{\frac{1}{4}}}}$

Από το

φέρνω το εφαπτόμενο τμήμα , $\,\,OM\,\,$ του κύκλου , $\left( {A,x} \right)$

Η ευθεία

τέμνει τον κύκλο στα $\,\,T\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,D$ .

Ενώνω το

με το μέσο

του

και η ημιευθεία

τέμνει τον κύκλο στο

.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 02, 2023 9:14 pm
Υπολογιστική κατασκευή.pngΣε κύκλο διαμέτρου , να κατασκευασθεί χορδή , στην οποία αν φέρουμε το μεσοκάθετο

τμήμα - το οποίο έχει μέσο το - και την χορδή , να προκύψει : .

: Υπολογιστική κατασκευή.png (13.91 KiB) Προβλήθηκε 91 φορές

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

KARKAR · #4

Το

του Νίκου ή το

του Γιώργου , είναι ίσο με : $6-\sqrt{3}$ , το οποίο είναι κατασκευάσιμο .

Συνεπώς παίρνοντας σε μια διάμετρο τμήμα $TM=12-2\sqrt{3}$ και φέροντας την κάθετη ,

έχω την ζητούμενη κατασκευή της χορδής

.

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 02, 2023 9:14 pm
Υπολογιστική κατασκευή.pngΣε κύκλο διαμέτρου , να κατασκευασθεί χορδή , στην οποία αν φέρουμε το μεσοκάθετο

τμήμα - το οποίο έχει μέσο το - και την χορδή , να προκύψει : .

Θέτω

και

: Υπολογιστική κατασκευή.β.png (13.46 KiB) Προβλήθηκε 52 φορές

$\displaystyle OM = \sqrt {{R^2} - {x^2}} ,OM + R = 2y \Rightarrow$ $\boxed{y = \frac{{R + \sqrt {{R^2} - {x^2}} }}{2}}$ (1)

$\displaystyle AN \cdot x = {R^2} - O{N^2} \Leftrightarrow x\sqrt {{x^2} + {y^2}} = y(2R - y).$ Αν στην τελευταία αυτή

εξίσωση αντικαταστήσω την τιμή του

από την

και $R=\dfrac{11}{2},$ καταλήγω στην εξίσωση:

$\displaystyle \left( {11 + \sqrt {121 - 4{x^2}} } \right)\left( {33 - \sqrt {121 - 4{x^2}} } \right) = 4x\sqrt {12{x^2} + 22\sqrt {121 - 4{x^2}} + 242},$

απ' όπου παίρνω $\boxed{ x = \sqrt {26\sqrt 3 - 24}}$ Στη συνέχεια βρίσκω $\boxed{OM = \frac{{13 - 4\sqrt 3 }}{2}}$

H χορδή που εφάπτεται στον κύκλο $\displaystyle \left( {O,\frac{{13 - 4\sqrt 3 }}{2}} \right)$ είναι η ζητούμενη (μία εξ αυτών).

Υπολογιστική κατασκευή

Υπολογιστική κατασκευή

Re: Υπολογιστική κατασκευή

Re: Υπολογιστική κατασκευή

Re: Υπολογιστική κατασκευή

Re: Υπολογιστική κατασκευή

Μέλη σε σύνδεση