Καθετότητα λόγω παραλληλίας

KARKAR · #1

: Καθετότητα λόγω παραλληλίας.png (22.95 KiB) Προβλήθηκε 698 φορές

Από το μέσο

της βάσης

, τριγώνου ABC

, με :

, φέρουμε παράλληλη

προς τη διχοτόμο

, η οποία τέμνει την προέκταση της πλευράς

, στο σημείο

.

Συμπληρώνουμε το παραλληλόγραμμο ASTC

. Δείξτε ότι : $SM \perp MT$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 01, 2023 7:26 pm
Καθετότητα λόγω παραλληλίας.pngΑπό το μέσο της βάσης , τριγώνου , με : , φέρουμε παράλληλη

προς τη διχοτόμο , η οποία τέμνει την προέκταση της πλευράς , στο σημείο .

Συμπληρώνουμε το παραλληλόγραμμο . Δείξτε ότι : $SM \perp MT$ .

Αβίαστα, λόγω διχοτόμου και παραλληλιών έχω : $\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}} = \widehat {{a_4}} = \widehat {{a_5}}$

: Καθετότητα λόγω παραλληλίας.png (29.49 KiB) Προβλήθηκε 673 φορές

Οι $TM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SB$ τέμνονται στο

και είναι ίσα τα τρίγωνα $CTM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BLM$ .

( MC = MB

γωνίες στο

ως κατακορυφήν ίσες και γωνίες στα $T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,L$ ίσες )

Στο τρίγωνο SLT

η

, είναι διχοτόμος και διάμεσος άρα είναι και ύψος.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 01, 2023 7:26 pm
Καθετότητα λόγω παραλληλίας.pngΑπό το μέσο της βάσης , τριγώνου , με : , φέρουμε παράλληλη

προς τη διχοτόμο , η οποία τέμνει την προέκταση της πλευράς , στο σημείο .

Συμπληρώνουμε το παραλληλόγραμμο . Δείξτε ότι : $SM \perp MT$ .

Η

τέμνει την

στο

απ' όπου εύκολα προκύπτει ότι AS=AF.

Η παράλληλη από το

στην

διέρχεται από τα μέσα N, P

των

αντίστοιχα. Από γνωστή άσκηση του σχολικού είναι:

: Καθετότητα λόγω παραλληλίας.Κ.png (15.05 KiB) Προβλήθηκε 635 φορές

$\displaystyle BS = CF \Leftrightarrow AB + AS = AC - AF = ST - AS \Leftrightarrow AB + 2AS = ST \Leftrightarrow$

$\displaystyle \frac{{AB}}{2} + AS = \frac{{ST}}{2} \Leftrightarrow MN + NP = \frac{{ST}}{2} \Leftrightarrow MP = \frac{{ST}}{2} \Leftrightarrow$ $\boxed{SM\bot MT}$

Henri van Aubel · #4

Άλλη μία λύση.

Είναι $\displaystyle \frac{SM}{MB}=\frac{\sin \angle B}{\sin \angle BSM}=\frac{\sin \angle B}{\sin \displaystyle\frac{\angle A}{2}}:(1)$

Είναι $\displaystyle ST=AC=\frac{2BM\cdot \sin \angle B}{\sin \angle A}:(2)$

Από αυτές τις δύο σχέσεις προκύπτει ότι $\displaystyle \frac{SM}{ST}=\cos \frac{\angle A}{2}:(3)$

Όμως είναι $\displaystyle \angle MST=\angle AST-\angle ASM=\angle A-\frac{\angle A}{2}=\frac{\angle A}{2}$

Συνεπώς, η $\left ( 3 \right )$ γίνεται $\displaystyle \frac{SM}{ST}=\cos \angle MST$

Οπότε είναι $\angle SMT=90^\circ$ , όπως θέλαμε

nickchalkida · #5

Η από το

παράλληλος προς την

θα διέλθει από τα μέσα

,

των

,

.
Λόγω παραλλήλων οι πράσινο κλειστό γωνίες είναι ίσες καθώς και οι πράσινο ανοικτό,
ενώ η διχοτομία τις κάνει όλες ίσες. Άρα SMG

ισοσκελές και τότε

$\displaystyle{ MG=SG={ST \over 2} \rightarrow SM \perp MT }$

Καθετότητα λόγω παραλληλίας

Καθετότητα λόγω παραλληλίας

Re: Καθετότητα λόγω παραλληλίας

Re: Καθετότητα λόγω παραλληλίας

Re: Καθετότητα λόγω παραλληλίας

Re: Καθετότητα λόγω παραλληλίας

Μέλη σε σύνδεση