Τμήματα από διχοτόμηση

KARKAR · #1

: Τμήματα από διχοτόμηση.png (15.54 KiB) Προβλήθηκε 692 φορές

Η διάκεντρος των κύκλων (O,4)

και

, ισούται με

. Έστω

το κάτω σημείο τομής τους .

Η διχοτόμος της $\widehat{OAK}$ , ξανατέμνει τους κύκλους στα σημεία S , T

. Υπολογίστε τα : AS , ST

.

Henri van Aubel · #2

Αφού $\angle SAK=\angle OAS=\angle OSA,$ έπεται ότι AK//OS

Κάνοντας επίλυση τριγώνου στο $\vartriangle OAK$ βρίσκουμε $\displaystyle \angle AKO=\frac{\angle KAO}{2}=\angle SAO=\angle ASO$
Άρα , τα σημεία A,O,S,K

είναι ομοκυκλικά κι έτσι το τετράπλευρο AOSK

είναι ισοσκελές τραπέζιο, δηλαδή $\boxed{AS=OK=6}$
Τα ισοσκελή τρίγωνα $\vartriangle ASO,\vartriangle ATK$ με βάσεις AS,AT

αντίστοιχα, έχουν $\angle TAK=\angle KTA=\angle SAO=\angle ASO$ και άρα είναι όμοια με άμεση συνέπεια $\displaystyle \frac{AS}{AT}=\frac{OA}{AK}=\frac{6}{AT}=\frac{4}{5}\Leftrightarrow AT=\frac{15}{2}=6+ST\Leftrightarrow \boxed{ST=\frac{3}{2}}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 01, 2023 12:58 pm
Τμήματα από διχοτόμηση.png Η διάκεντρος των κύκλων και , ισούται με . Έστω το κάτω σημείο τομής τους .

Η διχοτόμος της $\widehat{OAK}$ , ξανατέμνει τους κύκλους στα σημεία . Υπολογίστε τα : .

Από θεώρημα διχοτόμου στο AOK,

βρίσκω $\displaystyle OD = \frac{8}{3},DK = \frac{{10}}{3}$ και $\displaystyle A{D^2} = 4 \cdot 5 - \frac{8}{3} \cdot \frac{{10}}{3} \Leftrightarrow AD = \frac{{10}}{3}$

: Τμήματα από διχοτόμηση.png (15.26 KiB) Προβλήθηκε 649 φορές

Από θεώρημα τεμνόμενων χορδών, $\displaystyle AD \cdot DS = O{A^2} - O{D^2} \Leftrightarrow DS = \frac{{8}}{3}$ και $\boxed{AS=6}$

Ομοίως, $\displaystyle AD \cdot DT = A{K^2} - D{K^2} \Leftrightarrow DT = \frac{{25}}{6}$ και $\boxed{ST=\frac{3}{2}}$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 01, 2023 12:58 pm
Τμήματα από διχοτόμηση.png Η διάκεντρος των κύκλων και , ισούται με . Έστω το κάτω σημείο τομής τους .

Η διχοτόμος της $\widehat{OAK}$ , ξανατέμνει τους κύκλους στα σημεία . Υπολογίστε τα : .

Έστω

η διχοτόμος του $\vartriangle AOK$ . Επειδή $A{D^2} = AB \cdot AK - DO \cdot DK$ προκύπτουν :

: Τμήματα απο διχοτόμηση.png (26.7 KiB) Προβλήθηκε 637 φορές

$AD = \dfrac{8}{3} = DK\,\,$ και $\,\,AD = DK = \dfrac{{10}}{3}\,\,$ , άρα το $\vartriangle DKA$ είναι ισοσκελές οπότε : $\vartriangle AKO = \vartriangle KAS$ και έτσι $\boxed{AS = 6}$

Μετά απ’ αυτά επειδή $TS \cdot SA = {5^2} - {4^2} = 9 \Rightarrow 6TS = 9 \Rightarrow \boxed{y = TS = \frac{3}{2}}$

STOPJOHN · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 01, 2023 12:58 pm
Τμήματα από διχοτόμηση.png Η διάκεντρος των κύκλων και , ισούται με . Έστω το κάτω σημείο τομής τους .

Η διχοτόμος της $\widehat{OAK}$ , ξανατέμνει τους κύκλους στα σημεία . Υπολογίστε τα : .

Για τις γωνίες

$\hat{OAS}=\hat{SAK}=\hat{ATK}\Leftrightarrow OA//TK,OS=OA,\hat{OSA}= \hat{SAK}\Rightarrow O\Theta //AK$

Το τετράπλευρο

$O\Theta KA$ είναι παραλληλόγραμμο και $S\Theta =1, \dfrac{TS}{TA}=\dfrac{S\Theta }{AK}\Rightarrow 4ST=AS,(1), O\Theta K,36+64=5(SK^{2})+20\Leftrightarrow SK=4,AS.ST=25-SK^{2}\Leftrightarrow AS.ST=6,(2), (1),(2)\Rightarrow AS=6,ST=\dfrac{3}{2}$

Τμήματα από διχοτόμηση

Τμήματα από διχοτόμηση

Re: Τμήματα από διχοτόμηση

Re: Τμήματα από διχοτόμηση

Re: Τμήματα από διχοτόμηση

Re: Τμήματα από διχοτόμηση

Μέλη σε σύνδεση