Απρόσμενη συνευθειακότητα

KARKAR · #1

: Απρόσμενη συνευθειακότητα.png (15.25 KiB) Προβλήθηκε 749 φορές

Στις πλευρές AC , BC

του ορθογωνίου OACB

, θεωρούμε σημεία S , P

αντίστοιχα .

Φέρουμε : $ST \perp OP$ και : $PQ \perp AS$ , οι οποίες τέμνουν τις προεκτάσεις των

OA , OB

, στα σημεία F , E

αντίστοιχα . Δείξτε ότι τα E , C , F

είναι συνευθειακά .

Henri van Aubel · #2

Είναι $\displaystyle BE=BP\cdot \tan \angle BPE=\frac{AC\cdot \tan \angle BOP}{\tan \angle AOS}:(1)$

Είναι $\displaystyle AF=\frac{AS}{\tan \angle AFS}=\frac{BC\cdot \tan\angle AOS }{\tan \angle BOP}:(2)$

Με πολλαπλασιασμό κατά μέλη των δύο αυτών σχέσεων είναι $\displaystyle BE\cdot AF=BC\cdot AC\Leftrightarrow \frac{AC}{AF}=\frac{BE}{BC}$

Με βάση αυτή την ισότητα λόγων, λαμβάνουμε $\tan \angle AFC=\tan \angle BCE$ κι αφού είναι και οι δύο οξείες, έπεται ότι $\angle AFC=\angle BCE$ και άρα $\angle ACF+\angle ACB+\angle BCE=\angle ACF+\angle ACB+\angle AFC=90^\circ+90^\circ=180^\circ,$ όπως θέλαμε!

Σημείωση: B,P,Q,O

ομοκυκλικά και $\angle BOP=\angle SFO$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 31, 2023 7:45 pm
Απρόσμενη συνευθειακότητα.pngΣτις πλευρές του ορθογωνίου , θεωρούμε σημεία αντίστοιχα .

Φέρουμε : $ST \perp OP$ και : $PQ \perp AS$ , οι οποίες τέμνουν τις προεκτάσεις των

, στα σημεία αντίστοιχα . Δείξτε ότι τα είναι συνευθειακά .

Με επιλογή του πιο κάτω συστήματος συντεταγμένων .

$\overrightarrow {OP} = \left( {k,b} \right)$ η κάθετη στην

έχει εξίσωση : $y - s = \dfrac{{ - k}}{b}\left( {x - a} \right)$ που για y = 0

προκύπτει :

: Απρόσμενη αυνευθειακότητα_0.png (24.02 KiB) Προβλήθηκε 703 φορές

$\boxed{{x_F} = \frac{{ak + bs}}{k}}\,\,\left( 1 \right)$ ομοίως $\boxed{{y_E} = \frac{{ak + bs}}{s}}\,\,\left( 2 \right)$ .

Επειδή $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_F}}&0&1 \\ 0&{{y_E}}&1 \\ a&b&1 \end{array}} \right| = {x_F}\left( {{y_E} - b} \right) - a{y_E} = 0$ ,τα σημεία E,C,F

ανήκουν στην ίδια ευθεία .

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 31, 2023 7:45 pm
Απρόσμενη συνευθειακότητα.pngΣτις πλευρές του ορθογωνίου , θεωρούμε σημεία αντίστοιχα .

Φέρουμε : $ST \perp OP$ και : $PQ \perp AS$ , οι οποίες τέμνουν τις προεκτάσεις των

, στα σημεία αντίστοιχα . Δείξτε ότι τα είναι συνευθειακά .

Στο σχήμα του Θανάση (1η ανάρτηση)

Από την προφανή (λόγω ισότητας των γωνιών τους λόγω καθετότητας των πλευρών τους με τον ίδιο προσανατολισμό) ομοιότητα των τριγώνων $\vartriangle PEO,\vartriangle SOF$ και των ομολόγων υψών τους PB,SA

αντίστοιχα προκύπτει ότι: $\dfrac{EB}{EO}=\dfrac{OA}{OF}\overset{BC=OA}{\mathop{\Rightarrow }}\,\dfrac{EB}{EO}=\dfrac{BC}{OF}\overset{BC\parallel OF,E,B,O\,\,\sigma \upsilon \nu \varepsilon \upsilon \theta \varepsilon \iota \alpha \kappa \alpha }{\mathop{\Rightarrow }}\,E,C,F$ συνευθειακά και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 31, 2023 7:45 pm
Απρόσμενη συνευθειακότητα.pngΣτις πλευρές του ορθογωνίου , θεωρούμε σημεία αντίστοιχα .

Φέρουμε : $ST \perp OP$ και : $PQ \perp AS$ , οι οποίες τέμνουν τις προεκτάσεις των

, στα σημεία αντίστοιχα . Δείξτε ότι τα είναι συνευθειακά .

Ας είναι $K\,\,,\,\,L$ οι προβολές του

στις $OA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OB$ . Τα ορθογώνια τρίγωνα $SLO\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BEP$ είναι όμοια ( $\widehat {{\xi _1}} = \widehat {\xi _{}^{}}$ ).

Θα ισχύει λοιπόν , $\dfrac{{LS}}{{LO}} = \dfrac{{BE}}{{BP}} \Rightarrow \dfrac{{BC}}{{LO}} = \dfrac{{BE}}{{OK}}$ .

: Απρόσμενη αυνευθειακότητα_με Ευκλείδεια Γεωμετρία.png (29.47 KiB) Προβλήθηκε 665 φορές

Η τελευταία μας εξασφαλίζει ότι και τα ορθογώνια τρίγωνα , $KLO\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ECB$ είναι όμοια γιατί έχουν τις κάθετες πλευρές του ανάλογες

Με όμοιο τρόπο προκύπτουν όμοια και τα τρίγωνα , $KLO\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CFA$ κι έτσι :

$\widehat {\omega _{}^{}} + \widehat {\theta _{}^{}} = \widehat {{\omega _1}} + \widehat {{\theta _1}}$ κι αυτό που θέλω είναι φανερό .

Απρόσμενη συνευθειακότητα

Απρόσμενη συνευθειακότητα

Re: Απρόσμενη συνευθειακότητα

Re: Απρόσμενη συνευθειακότητα

Re: Απρόσμενη συνευθειακότητα

Re: Απρόσμενη συνευθειακότητα

Μέλη σε σύνδεση