Μεταβλητή εφαπτομένη

#1

Δίδεται κύκλος $\left( {O,R} \right)$ και σταθερό σημείο, $\,\,A\,\,$ αυτού .

Σε τυχαίο σημείο

του κύκλου φέρνω την εφαπτομένη του κύκλου και την προβολή

του

σ αυτή .

Να βρεθεί η θέση του

, ώστε το εμβαδόν του $\vartriangle APQ$ να είναι μέγιστο.

Εχει πολλούς τρόπους λύσης .

#2

Καλησπέρα σε όλους. Ξεκινώ τριγωνομετρικά και με παραγώγους.

: 29-01-2023 Γεωμετρία.png (16.96 KiB) Προβλήθηκε 202 φορές

Έστω

.

Στο

είναι $\displaystyle \sigma \upsilon \nu \varphi = \frac{{PQ}}{{AP}},\;\;\eta \mu \varphi = \frac{{AQ}}{{AP}}$ οπότε $\displaystyle \left( {PQA} \right) = \frac{{QA \cdot PQ}}{2} = \frac{{A{P^2}\eta \mu \varphi \cdot \sigma \upsilon \nu \varphi }}{2}$ .

Στο APO

είναι $\displaystyle A{P^2} = 2 - 2\sigma \upsilon \nu POA = 2 - 2\sigma \upsilon \nu \left( {180^\circ - 2\omega } \right) = 2 + 2\sigma \upsilon \nu 2\omega$

$\displaystyle = 2 + 2\left( {2\sigma \upsilon {\nu ^2}\omega - 1} \right) = 4\sigma \upsilon {\nu ^2}\omega = 4\sigma \upsilon {\nu ^2}\left( {90^\circ - \varphi } \right) = 4\eta {\mu ^2}\varphi$

Οπότε $\displaystyle \left( {PQA} \right) = 2\eta {\mu ^3}\varphi \cdot \sigma \upsilon \nu \varphi$

Με παραγώγους, η συνάρτηση $\displaystyle f\left( x \right) = \eta {\mu ^3}x\sigma \upsilon \nu x,\;x \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)$ έχει παράγωγο

$\displaystyle f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3\sigma \upsilon {\nu ^2}x = \eta {\mu ^2}x \Leftrightarrow \varepsilon {\varphi ^2}x = 3 \Leftrightarrow \varepsilon \varphi x = \sqrt 3 \Leftrightarrow x = 60^\circ$

Με πίνακα προσήμων, βλέπουμε ότι τότε έχει μέγιστο. Δηλαδή όταν η

σχηματίζει γωνία $30^\circ$ με τη σταθερή

.

edit 19:21 Με τη μέθοδο των αλγεβριστών, όπως την εφάρμοσε ο Κώστας εδώ

Είναι $\displaystyle \eta {\mu ^3}\varphi + \sigma \upsilon \nu \varphi = {\left( {\eta {\mu ^2}x} \right)^{\frac{3}{2}}} + {\left( {\sigma \upsilon {\nu ^2}x} \right)^{\frac{1}{2}}}$ .

Επειδή το άθροισμα των βάσεων είναι σταθερό ( $\displaystyle \eta {\mu ^2}x + \sigma \upsilon {\nu ^2}x = 1$ ), το γινόμενό τους γίνεται μέγιστο όταν είναι ανάλογοι των εκθετών τους, δηλαδή όταν $\displaystyle \frac{{\eta {\mu ^2}x}}{{\frac{3}{2}}} = \frac{{\sigma \upsilon {\nu ^2}x}}{{\frac{1}{2}}} \Leftrightarrow \varepsilon {\varphi ^2}x = 3$ κ.ο.κ.

#3

Doloros έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 29, 2023 12:16 pm
Δίδεται κύκλος $\left( {O,R} \right)$ και σταθερό σημείο, $\,\,A\,\,$ αυτού .

Σε τυχαίο σημείο του κύκλου φέρνω την εφαπτομένη του κύκλου και την προβολή του σ αυτή .

Να βρεθεί η θέση του , ώστε το εμβαδόν του $\vartriangle APQ$ να είναι μέγιστο.

Εχει πολλούς τρόπους λύσης .

Καλησπέρα!

Φέρνω τη διάμετρο

και θέτω

Προφανώς τα τρίγωνα APB, APQ

είναι όμοια:

: Μεταβλητή εφαπτομένη.png (16.81 KiB) Προβλήθηκε 191 φορές

$\displaystyle \frac{{PB}}{{PQ}} = \frac{x}{{QA}} = \frac{{2R}}{x} \Rightarrow \frac{{PBx}}{{PQ \cdot QA}} = \frac{{4{R^2}}}{{{x^2}}} \Leftrightarrow PQ \cdot QA = \frac{{{x^3}}}{{4{R^2}}}\sqrt {4{R^2} - {x^2}}$

$\displaystyle (APQ) = f(x) = \frac{{{x^3}}}{{8{R^2}}}\sqrt {4{R^2} - {x^2}} ,0 < x < 2R.$ Η παράγωγος της

είναι

$\displaystyle f'(x) = \frac{{{x^2}\left( {R\sqrt 3 - x} \right)\left( {R\sqrt 3 + x} \right)}}{{2{R^2}\sqrt {4{R^2} - {x^2}} }},$ που παρουσιάζει για $\boxed{x=R\sqrt 3}$ μέγιστη τιμή ίση με

$\boxed{f\left( {R\sqrt 3 } \right) = \frac{{3{R^2}\sqrt 3 }}{8}}$ Η

είναι η πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραμμένου στον κύκλο (O, R).

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

Doloros έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 29, 2023 12:16 pm
Δίδεται κύκλος $\left( {O,R} \right)$ και σταθερό σημείο, $\,\,A\,\,$ αυτού .

Σε τυχαίο σημείο του κύκλου φέρνω την εφαπτομένη του κύκλου και την προβολή του σ αυτή .

Να βρεθεί η θέση του , ώστε το εμβαδόν του $\vartriangle APQ$ να είναι μέγιστο.

Εχει πολλούς τρόπους λύσης .

Η κάθετη από το

στην

, τέμνει τον κύκλο στο

οπότε $(APQ)=(PAK)= \dfrac{(APL)}{2}$

Άρα, αρκεί να γίνει μέγιστο το εμβαδόν ( APL)

,που όπως είναι γνωστό αυτό συμβαίνει όταν το τρίγωνο APL

είναι ισόπλευρο

Ο κύκλος $(A, R \sqrt{3} )$ τέμνει τον κύκλο (O,R)

στα ζητούμενα σημεία P,L

: μεταβλητή εφαπτομένη.png (28.17 KiB) Προβλήθηκε 179 φορές

#5

Μιχάλης Τσουρακάκης έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 29, 2023 8:04 pm

Doloros έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 29, 2023 12:16 pm
Δίδεται κύκλος $\left( {O,R} \right)$ και σταθερό σημείο, $\,\,A\,\,$ αυτού .

Σε τυχαίο σημείο του κύκλου φέρνω την εφαπτομένη του κύκλου και την προβολή του σ αυτή .

Να βρεθεί η θέση του , ώστε το εμβαδόν του $\vartriangle APQ$ να είναι μέγιστο.

Εχει πολλούς τρόπους λύσης .
Η κάθετη από το στην , τέμνει τον κύκλο στο οπότε $(APQ)=(PAK)= \dfrac{(APL)}{2}$

Άρα, αρκεί να γίνει μέγιστο το εμβαδόν ,που όπως είναι γνωστό αυτό συμβαίνει όταν το τρίγωνο είναι ισόπλευρο

Ο κύκλος $(A, R \sqrt{3} )$ τέμνει τον κύκλο στα ζητούμενα σημεία

μεταβλητή εφαπτομένη.png

Καλό!

KARKAR · #6

Την άσκηση θυμόμουνα ότι παλιότερα την είχε ξαναβάλει ο Νίκος . Πότε ;

Πολύ παλιότερα την είχα βάλει κι εγώ αλλά που να την βρει κανείς
(ιδίως με τους ανορθόδοξους τίτλους

)

Μεταβλητή εφαπτομένη

Μεταβλητή εφαπτομένη

Re: Μεταβλητή εφαπτομένη

Re: Μεταβλητή εφαπτομένη

Re: Μεταβλητή εφαπτομένη

Re: Μεταβλητή εφαπτομένη

Re: Μεταβλητή εφαπτομένη

Μέλη σε σύνδεση