Κοινή χορδή και διχοτόμος

#1

: Κοινή χορδή και διχοτόμος.png (23.2 KiB) Προβλήθηκε 206 φορές

Σε τυχαίο τρίγωνο ABC

οι κύκλοι : $\left( {B,BA} \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( {C,CA} \right)$ τέμνουν το κύκλο $\left( {A,B,C} \right)$ στα S,T

.

Δείξετε ότι η κοινή χορδή

των δύο πρώτων κύκλων , διχοτομεί την $\widehat {SAT}$ .

#2

Doloros έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 25, 2023 11:47 am
Κοινή χορδή και διχοτόμος.png

Σε τυχαίο τρίγωνο οι κύκλοι : $\left( {B,BA} \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( {C,CA} \right)$ τέμνουν το κύκλο $\left( {A,B,C} \right)$ στα .

Δείξετε ότι η κοινή χορδή των δύο πρώτων κύκλων , διχοτομεί την $\widehat {SAT}$ .

: ΚΧΔ.png (23.9 KiB) Προβλήθηκε 192 φορές

$\displaystyle S\widehat AK = \frac{1}{2}S\widehat BK = \frac{1}{2}S\widehat BT = \frac{1}{2}S\widehat CT = \frac{1}{2}K\widehat CT = K\widehat AT$

Αρκεί βέβαια να δειχθεί ότι τα S, K, C

είναι συνευθειακά, όπως και τα B, K, T.

Πράγματι, $\displaystyle A\widehat BC = A\widehat SC.$ Επειδή όμως η

είναι μεσοκάθετη της AK,

θα είναι $\displaystyle A\widehat BC = A\widehat SK,$

γεγονός που αποδεικνύει την συνευθειακότητα των S, K, C,

ομοίως και των B, K, T.

STOPJOHN · #3

Doloros έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 25, 2023 11:47 am
Κοινή χορδή και διχοτόμος.png

Σε τυχαίο τρίγωνο οι κύκλοι : $\left( {B,BA} \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( {C,CA} \right)$ τέμνουν το κύκλο $\left( {A,B,C} \right)$ στα .

Δείξετε ότι η κοινή χορδή των δύο πρώτων κύκλων , διχοτομεί την $\widehat {SAT}$ .

Απο το εγγράψιμο τετράπλευρο $JLFD,\hat{LAK}=\hat{CBO},(1),$

Oμοίως από το εγγράψιμο τετράπλευρο $DGIM,\hat{KAT}=\hat{DCO},(2)$

και από το ισοσκελές τρίγωνο

$OBC,\hat{B}=\hat{C},(3), (1),(2),(3)\Rightarrow \hat{SAK}=\hat{KAT}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

Doloros έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 25, 2023 11:47 am
Κοινή χορδή και διχοτόμος.png

Σε τυχαίο τρίγωνο οι κύκλοι : $\left( {B,BA} \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( {C,CA} \right)$ τέμνουν το κύκλο $\left( {A,B,C} \right)$ στα .

Δείξετε ότι η κοινή χορδή των δύο πρώτων κύκλων , διχοτομεί την $\widehat {SAT}$ .

Ας είναι

αντιδιαμετρικά του

ως προς τους κύκλους (B,BA),(C,CA)

. Προφανώς E,K,Z

είναι συνευθειακά

Η

τέμνει τον κύκλο (A,B,C)

στο

και είναι $\angle ASE=90^0$ ,άρα και $\angle OBA=90^0$ οπότε και $\angle ACO=90^0$

Επομένως OB,OC

μεσοκάθετοι των AE,AZ

αντίστοιχα ,συνεπώς

είναι το περίκεντρο του τριγώνου AEZ

,άρα

Από το εγγράψιμμα ASOT,ATKZ

έχουμε, $OT \bot AT ,ZT \bot AT$ άρα Z,O,T

συνευθειακά και η ισότητα

των γωνιών $\theta , \omega$ είναι προφανής

: κοινή χορδή και διχοτόμος.png (64.64 KiB) Προβλήθηκε 116 φορές

Henri van Aubel · #5

$\displaystyle \angle SKA=180^\circ-\frac{\angle ABS}{2}=180^\circ-\left ( 90^\circ-\angle ASB \right )=90^\circ+\angle C$

$\angle AKC=90^\circ-\angle C$ , γιατί ABKC

χαρταετός

Άρα από αυτές τις δύο σχέσεις είναι $\angle SKA+\angle AKC=180^\circ$ και άρα S,K,C

συνευθειακά

Ομοίως βγαίνουν $\displaystyle \angle AKT=180^\circ-\frac{\angle ACT}{2}=90^\circ+\angle ATC=90^\circ+\angle B$ και

$\angle AKB=90^\circ-\angle B$

Άρα B,K,T

συνευθειακά

Τελικά, μετά την απόδειξη των δύο συνευθειακών τριάδων, θα έχουμε $\displaystyle \angle KAT=\frac{\angle KCT}{2}=\frac{\angle SCT}{2}=\frac{\angle SBT}{2}=\frac{\angle SBK}{2}=\angle KAB$

Done!!

Κοινή χορδή και διχοτόμος

Κοινή χορδή και διχοτόμος

Re: Κοινή χορδή και διχοτόμος

Re: Κοινή χορδή και διχοτόμος

Re: Κοινή χορδή και διχοτόμος

Re: Κοινή χορδή και διχοτόμος

Μέλη σε σύνδεση