Παράγωγο τμήμα

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 14019
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Παράγωγο τμήμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Ιαν 24, 2023 9:42 am

Παράγωγο  τμήμα.png
Παράγωγο τμήμα.png (14.26 KiB) Προβλήθηκε 154 φορές
Οι κύκλοι (B ,BA) και (C , CA) , τέμνουν τον περίκυκλο του τριγώνου ABC

στα σημεία S , T αντίστοιχα . Υπολογίστε το μήκος του τμήματος ST .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9129
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Παράγωγο τμήμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Ιαν 24, 2023 2:12 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Ιαν 24, 2023 9:42 am
Παράγωγο τμήμα.pngΟι κύκλοι (B ,BA) και (C , CA) , τέμνουν τον περίκυκλο του τριγώνου ABC

στα σημεία S , T αντίστοιχα . Υπολογίστε το μήκος του τμήματος ST .
Βρίσκω : \left\{ \begin{gathered} 
  \cos \theta  = 1 - \frac{{{c^2}}}{{2{R^2}}} \hfill \\ 
  \cos \omega  = 1 - \frac{{{b^2}}}{{2{R^2}}} \hfill \\ 
  AS = \frac{c}{R}\sqrt {4{R^2} - {c^2}}  \hfill \\ 
  AT = \frac{b}{R}\sqrt {4{R^2} - {b^2}}  \hfill \\  
\end{gathered}  \right. και \cos {a_1} =  - \cos \left( {\theta  + \omega } \right) = \dfrac{{bc\sqrt {4{R^2} - {c^2}} \sqrt {4{R^2} - {b^2}} }}{{4{R^4}}} - \left( {1 - \dfrac{{{b^2}}}{{2{R^2}}}} \right)\left( {1 - \dfrac{{{c^2}}}{{2{R^2}}}} \right)
παράγωγο τμήμα_1.png
παράγωγο τμήμα_1.png (22.47 KiB) Προβλήθηκε 126 φορές
Οπότε από το \vartriangle AST προκύπτει \boxed{ST = \frac{{11}}{2}}

Το R( ακτίνα του \vartriangle ABC ) υπολογίζεται κατά τα γνωστά και είναι

\boxed{R = \frac{{abc}}{{4\left( {ABC} \right)}} = \frac{{72\sqrt {455} }}{{455}}}


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3434
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Παράγωγο τμήμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Τρί Ιαν 24, 2023 4:26 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Ιαν 24, 2023 9:42 am
Οι κύκλοι (B ,BA) και (C , CA) , τέμνουν τον περίκυκλο του τριγώνου ABC

στα σημεία S , T αντίστοιχα . Υπολογίστε το μήκος του τμήματος ST .
2023-01-24_16-24-41.jpg
2023-01-24_16-24-41.jpg (56.1 KiB) Προβλήθηκε 103 φορές
Τα  \triangle BSK, \triangle CKT είναι όμοια.

Από θεώρημα Stewart στο  \triangle BCS:(3y + 4)(12y + 9) = 36 + 108y \Leftrightarrow y = \dfrac{{11}}{{12}}

Από θεώρημα Πτολεμαίου στο BCTS:6x + 12 = \left( {3 + \dfrac{{11}}{3}} \right) \cdot \left( {4 + \dfrac{{11}}{4}} \right) \Leftrightarrow x = \dfrac{{11}}{2}


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9129
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Παράγωγο τμήμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Ιαν 24, 2023 7:09 pm

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Τρί Ιαν 24, 2023 4:26 pm
KARKAR έγραψε:
Τρί Ιαν 24, 2023 9:42 am
Οι κύκλοι (B ,BA) και (C , CA) , τέμνουν τον περίκυκλο του τριγώνου ABC

στα σημεία S , T αντίστοιχα . Υπολογίστε το μήκος του τμήματος ST .
2023-01-24_16-24-41.jpgΤα  \triangle BSK, \triangle CKT είναι όμοια.

Από θεώρημα Stewart στο  \triangle BCS:(3y + 4)(12y + 9) = 36 + 108y \Leftrightarrow y = \dfrac{{11}}{{12}}

Από θεώρημα Πτολεμαίου στο BCTS:6x + 12 = \left( {3 + \dfrac{{11}}{3}} \right) \cdot \left( {4 + \dfrac{{11}}{4}} \right) \Leftrightarrow x = \dfrac{{11}}{2}
Γειά σου Μιχάλη με την άριστη λύση . :coolspeak:


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12087
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Παράγωγο τμήμα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Ιαν 25, 2023 10:17 am

KARKAR έγραψε:
Τρί Ιαν 24, 2023 9:42 am
Παράγωγο τμήμα.pngΟι κύκλοι (B ,BA) και (C , CA) , τέμνουν τον περίκυκλο του τριγώνου ABC

στα σημεία S , T αντίστοιχα . Υπολογίστε το μήκος του τμήματος ST .
\displaystyle S\widehat ET = \widehat A και με νόμο συνημιτόνου στο ABC βρίσκω \displaystyle \cos A =  - \frac{{11}}{{24}}.
Παράγωγο τμήμα.ΚΑ.png
Παράγωγο τμήμα.ΚΑ.png (25.13 KiB) Προβλήθηκε 40 φορές
\displaystyle CE \cdot CS = C{B^2} - 9 \Leftrightarrow CS = \frac{{27}}{4},ES = \frac{{11}}{4} και ομοίως ET=\dfrac{11}{3}.

Με νόμο συνημιτόνου τώρα στο SET, παίρνω \boxed{ST = \frac{{11}}{2}}

Όσο για την συνευθειακότητα των S, E, C και B, E, T, έχει αποδειχθεί εδώ


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης