Καθετότητα προδίδει σχέση πλευρών

#1

Έστω

το έγκεντρο και

το κέντρο του κύκλου του $\rm\ Euler$ τριγώνου ABC.

Αν $IE\bot BC,$

να βρείτε τη σχέση που συνδέει τις πλευρές a, b, c

του τριγώνου.

#2

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 24, 2022 9:45 am
Έστω το έγκεντρο και το κέντρο του κύκλου του $\rm\ Euler$ τριγώνου Αν $IE\bot BC,$

να βρείτε τη σχέση που συνδέει τις πλευρές του τριγώνου.

: Καθετότητα προδίδει σχέση πλευρών.png (43.03 KiB) Προβλήθηκε 274 φορές

Έστω

το σημείο επαφής του εγκυκλου $\left( I \right)$ του τριγώνου $\vartriangle ABC$ με την πλευρά του

,

το ορθόκεντρο του τριγώνου , $D\equiv AH\cap BC$ και ας είναι

το μέσο της

και

το κέντρο του περιγεγραμμένου στο τρίγωνο $\vartriangle ABC$ κύκλου.
Είναι γνωστό ότι το κέντρο του μεσόκυκλου είναι το μέσο της

και με $IE\bot BC\Rightarrow IE\cap BC=F$
Από το τραπέζιο HDMO

με $EF\parallel HD\parallel OM$ και

το μέσο της $OH\Rightarrow F$ το μέσο της

. Αλλά

είναι η προβολή της διαμέσου ${{\mu }_{a}}$ στην

.

Από το δεύτερο θεώρημα των διαμέσων έχουμε ότι $DM=\dfrac{\left| {{b}^{2}}-{{c}^{2}} \right|}{2a}\Rightarrow FM=\dfrac{DM}{2}=\dfrac{\left| {{b}^{2}}-{{c}^{2}} \right|}{4a}=\dfrac{\left| b-c \right|\left( b+c \right)}{4a}:\left( 1 \right)$ και $\displaystyle BF=\tau -b=\dfrac{a+b+c}{2}-b=\dfrac{a-b+c}{2}:\left( 2 \right)$

Είναι $FM=\left| BM-BF \right|=\left| \dfrac{a}{2}-\dfrac{a-b+c}{2} \right|=\dfrac{\left| b-c \right|}{2}$ oπότε θα είναι:
$\dfrac{\left| b-c \right|\left( b+c \right)}{4a}=\dfrac{\left| b-c \right|}{2}\Leftrightarrow \dfrac{\left| b-c \right|}{2}\cdot \left( \dfrac{b+c}{2a}-1 \right)=0\Leftrightarrow$ $\left( \dfrac{\left| b-c \right|}{2}=0\Leftrightarrow b=c \right)\vee \left( \dfrac{b+c}{2a}-1=0\Leftrightarrow b+c=2a \right)$ και το ζητούμενο έχει βρεθεί

Σημείωση: Στο σχήμα έχει κατασκευαστεί όχι το ισοσκελές τρίγωνο (άλλωστε στο ισοσκελές ( b=c

) είναι και προφανές))

Καθετότητα προδίδει σχέση πλευρών

Καθετότητα προδίδει σχέση πλευρών

Re: Καθετότητα προδίδει σχέση πλευρών

Μέλη σε σύνδεση