Καθετότητα προδίδει σχέση πλευρών

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11859
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Καθετότητα προδίδει σχέση πλευρών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Νοέμ 24, 2022 9:45 am

Έστω I το έγκεντρο και E το κέντρο του κύκλου του \rm\ Euler τριγώνου ABC. Αν IE\bot BC,

να βρείτε τη σχέση που συνδέει τις πλευρές a, b, c του τριγώνου.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4566
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Βρυξέλλες

Re: Καθετότητα προδίδει σχέση πλευρών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Πέμ Νοέμ 24, 2022 9:19 pm

george visvikis έγραψε:
Πέμ Νοέμ 24, 2022 9:45 am
Έστω I το έγκεντρο και E το κέντρο του κύκλου του \rm\ Euler τριγώνου ABC. Αν IE\bot BC,

να βρείτε τη σχέση που συνδέει τις πλευρές a, b, c του τριγώνου.
Καθετότητα προδίδει σχέση πλευρών.png
Καθετότητα προδίδει σχέση πλευρών.png (43.03 KiB) Προβλήθηκε 82 φορές
Έστω F το σημείο επαφής του εγκυκλου \left( I \right) του τριγώνου \vartriangle ABC με την πλευρά του BC , H το ορθόκεντρο του τριγώνου , D\equiv AH\cap BC και ας είναι M το μέσο της BC και O το κέντρο του περιγεγραμμένου στο τρίγωνο \vartriangle ABC κύκλου.
Είναι γνωστό ότι το κέντρο του μεσόκυκλου είναι το μέσο της OH και με IE\bot BC\Rightarrow IE\cap BC=F
Από το τραπέζιο HDMO με EF\parallel HD\parallel OM και E το μέσο της OH\Rightarrow F το μέσο της DM . Αλλά DM είναι η προβολή της διαμέσου {{\mu }_{a}} στην BC .

Από το δεύτερο θεώρημα των διαμέσων έχουμε ότι DM=\dfrac{\left| {{b}^{2}}-{{c}^{2}} \right|}{2a}\Rightarrow FM=\dfrac{DM}{2}=\dfrac{\left| {{b}^{2}}-{{c}^{2}} \right|}{4a}=\dfrac{\left| b-c \right|\left( b+c \right)}{4a}:\left( 1 \right) και \displaystyle BF=\tau -b=\dfrac{a+b+c}{2}-b=\dfrac{a-b+c}{2}:\left( 2 \right)

Είναι FM=\left| BM-BF \right|=\left| \dfrac{a}{2}-\dfrac{a-b+c}{2} \right|=\dfrac{\left| b-c \right|}{2} oπότε θα είναι:
\dfrac{\left| b-c \right|\left( b+c \right)}{4a}=\dfrac{\left| b-c \right|}{2}\Leftrightarrow \dfrac{\left| b-c \right|}{2}\cdot \left( \dfrac{b+c}{2a}-1 \right)=0\Leftrightarrow \left( \dfrac{\left| b-c \right|}{2}=0\Leftrightarrow b=c \right)\vee \left( \dfrac{b+c}{2a}-1=0\Leftrightarrow b+c=2a \right) και το ζητούμενο έχει βρεθεί

Σημείωση: Στο σχήμα έχει κατασκευαστεί όχι το ισοσκελές τρίγωνο (άλλωστε στο ισοσκελές (b=c) είναι και προφανές))


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης