Διάμεσος και ίσες γωνίες

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8989
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Διάμεσος και ίσες γωνίες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Νοέμ 23, 2022 6:10 pm

Διάμεσος και ίσες γωνίες.png
Διάμεσος και ίσες γωνίες.png (5.96 KiB) Προβλήθηκε 451 φορές
Έστω τρίγωνο ABC με διάμεσο AM. Αν ισχύουν ,\displaystyle \widehat {BAM} = 15^\circ \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {MAC} = 30^\circ δείξετε ότι \widehat B = 30^\circ .



Λέξεις Κλειδιά:
Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1335
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Re: Διάμεσος και ίσες γωνίες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Τετ Νοέμ 23, 2022 8:19 pm

666.png
666.png (13.35 KiB) Προβλήθηκε 419 φορές

Ονομάζω N το μέσο της BA, κατασκευάζω το ισόπλευρο τρίγωνο MPA
και φέρνω τα τμήματα MN, PN, PB.
Οι κόκκινες γωνίες προκύπτουν εύκολα.
Η MN είναι μεσοκάθετος της PA.
Οπότε NP=NA\Rightarrow \angle ANP=90^{0}.
Άρα το τρίγωνο BPA είναι ισοσκελές (PN:ύψος και διάμεσος).
Επομένως PB=PA=PM.
Συνεπώς το P είναι το περίκεντρο του τριγώνου AMB.
Δηλαδή \angle B=\angle MPA/2\Rightarrow \angle B=30^{0}.


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5730
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Διάμεσος και ίσες γωνίες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Τετ Νοέμ 23, 2022 10:40 pm

Και μόνο χάρη πλουραλισμού.

Το σημείο A είναι το μοναδικό κοινό σημείο εκτός του M των διαφορετικών τόξων προς το ίδιο μέρος της BC που του ενός, του {c_1} κέντρου K τα σημεία βλέπουν το MC υπό γωνία{30^ \circ } και του άλλου {c_2} τα σημεία βλέπουν το BM υπό γωνία {15^ \circ }. Προφανώς το τρίγωνο KMC είναι ισόπλευρο, οπότε KA = KM = KC = MC = MB. Άρα \angle BKC = {90^ \circ },\,\angle MBK = \angle BKM = {30^ \circ } \Rightarrow K \in BA, αφού αν η BK έτεμνε τον c_1 σε σημείο A’, τότε \angle BA'M = {15^ \circ } \Rightarrow A \equiv A'.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3402
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Διάμεσος και ίσες γωνίες

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Πέμ Νοέμ 24, 2022 7:01 am

Doloros έγραψε:
Τετ Νοέμ 23, 2022 6:10 pm
Έστω τρίγωνο ABC με διάμεσο AM. Αν ισχύουν ,\displaystyle \widehat {BAM} = 15^\circ \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {MAC} = 30^\circ δείξετε ότι \widehat B = 30^\circ .
shape.png
shape.png (28.46 KiB) Προβλήθηκε 348 φορές
Κατασκευάζω το παραλληλόγραμμο ABDC και το ορθογώνιο τρίγωνο ADE({30^ \circ }{,60^ \circ }{,90^ \circ }).

Τ0  \triangleleft MDE είναι ισόπλευρο και το  \triangleleft CDE είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

Από το ισοσκελές τρίγωνο EMC\,({30^ \circ }{,75^ \circ }{,75^ \circ }) έπεται ότι \omega  = {75^ \circ } - {45^ \circ } = {30^ \circ }


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11859
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Διάμεσος και ίσες γωνίες

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Νοέμ 24, 2022 8:05 am

Doloros έγραψε:
Τετ Νοέμ 23, 2022 6:10 pm
Διάμεσος και ίσες γωνίες.png
Έστω τρίγωνο ABC με διάμεσο AM. Αν ισχύουν ,\displaystyle \widehat {BAM} = 15^\circ \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {MAC} = 30^\circ δείξετε ότι \widehat B = 30^\circ .
Στο σχήμα είναι ME\bot AC, BF\bot AC.
Διάμεσος και ίσες γωνίες.png
Διάμεσος και ίσες γωνίες.png (12.92 KiB) Προβλήθηκε 338 φορές
\displaystyle AF = BF = 2ME = AM \Rightarrow A\widehat FM = A\widehat MF = 75^\circ, απ' όπου \displaystyle M\widehat FB = M\widehat BF = 15^\circ και το ζητούμενο έπεται.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1665
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Διάμεσος και ίσες γωνίες

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Πέμ Νοέμ 24, 2022 8:46 am

Καλημέρα σε φίλους-αγαπητούς!

Δίνω μόνο σχήμα λόγω ..σχολείου, θα επανέλθω αν χρειαστεί.
24-11 Διάμεσος ..Ν.Φ .png
24-11 Διάμεσος ..Ν.Φ .png (114 KiB) Προβλήθηκε 330 φορές
Επανέρχομαι.
Φέρουμε τις γνωστές γωνίες στο ίδιο τρίγωνο
, προεκτείνοντας την AM κατά ME=AM.

Τα παπιγιόν τρίγωνα BEM,MAC είναι ίσα άρα \widehat{MEB}=\widehat{MAC}=30^o

Με χρήση του λήμματος: Σε τρίγωνο ABE με \widehat{A}=15^o και \widehat{E}=30^o ισχύει AE=AB\sqrt{2} (*)


παίρνουμε AB^2=AE^2/2=AE\cdot AM δηλ. η AB εφάπτεται στον κύκλο των B,E,M

οπότε \widehat{ABM}=\widehat{BEM}=30^o.

(*) Απόδειξη του λήμματος σε επόμενη ανάρτηση. Φιλικά, Γιώργος
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Μήτσιος σε Πέμ Νοέμ 24, 2022 10:03 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5730
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Διάμεσος και ίσες γωνίες

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Πέμ Νοέμ 24, 2022 7:44 pm

Απλά και μόνο για τη Μαθηματική μας κουβέντα.
Αυτό το σχήμα ... αρκεί για απόδειξη χωρίς λόγια;
Θεωρώ πως αρκεί αφού το τρίγωνο όπως δίνεται από τον Νίκο είναι καθαρό ότι διατηρεί τις γωνίες του.
geogebra-export.png
geogebra-export.png (261.47 KiB) Προβλήθηκε 275 φορές


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1665
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Διάμεσος και ίσες γωνίες

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Πέμ Νοέμ 24, 2022 10:18 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Πέμ Νοέμ 24, 2022 8:46 am
Καλημέρα σε φίλους-αγαπητούς!

Σε τρίγωνο ABE με \widehat{A}=15^o και \widehat{E}=30^o ισχύει AE=AB\sqrt{2}
Ας δούμε μια απόδειξη με τη βοήθεια του σχήματος
24-11 Λήμμα.png
24-11 Λήμμα.png (76.96 KiB) Προβλήθηκε 250 φορές
Τα ορθογώνια τρίγωνα BAN και PAE είναι όμοια , άρα \dfrac{AE}{AB}=\dfrac{EP}{BN}=\dfrac{k\sqrt{2}}{k}=\sqrt{2}. Φιλικά, Γιώργος


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2314
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Διάμεσος και ίσες γωνίες

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Παρ Νοέμ 25, 2022 3:08 pm

Doloros έγραψε:
Τετ Νοέμ 23, 2022 6:10 pm
Διάμεσος και ίσες γωνίες.png
Έστω τρίγωνο ABC με διάμεσο AM. Αν ισχύουν ,\displaystyle \widehat {BAM} = 15^\circ \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {MAC} = 30^\circ δείξετε ότι \widehat B = 30^\circ .
Κατασκευάζω το παραλληλόγραμμο ACPB και το τετράγωνο ATNC

Προφανώς το ATPB είναι ισοσκελές τραπέζιο ,εφόσον AB/TP,PB=AT θα είναι

BT=AP Στο τρίγωνο

ABT,BT=\mu _{a}=\dfrac{c\sqrt{2}}{2},

       b^{2}+c^{2}=2\mu _{a}^{2}+\dfrac{a^{2}}{2}\Rightarrow b\sqrt{2}=a(*)

Στο τρίγωνο

ABC,sin\theta =\dfrac{b\sqrt{2}}{2a},(**), 

             (*),(**)\Rightarrow \theta =30^{0}
Συνημμένα
Διάμεσος και ίσες γωνίες.png
Διάμεσος και ίσες γωνίες.png (16.68 KiB) Προβλήθηκε 181 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2396
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Διάμεσος και ίσες γωνίες

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Σάβ Νοέμ 26, 2022 11:03 am

Doloros έγραψε:
Τετ Νοέμ 23, 2022 6:10 pm
Διάμεσος και ίσες γωνίες.png
Έστω τρίγωνο ABC με διάμεσο AM. Αν ισχύουν ,\displaystyle \widehat {BAM} = 15^\circ \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {MAC} = 30^\circ δείξετε ότι \widehat B = 30^\circ .
Έστω E μέσον της AC και ο περίκυκλος του τριγώνου AME τέμνει την AB στο Z

Το AZME είναι ισοσκελές τραπέζιο ,οπότε \angle AMN=60^0 κι επειδή ZN \bot AN θα είναι MN=EN= \dfrac{ \mu _{ \alpha } }{2} και

EM^2=2MN^2 \Rightarrow  \dfrac{c^2}{4} = \dfrac{  \mu ^2_{ \alpha } }{2}  \Rightarrow 4 \mu ^2_{ \alpha }=2c^2 \Rightarrow  \dfrac{a^2}{4}= \dfrac{b^2}{2} \Rightarrow MC^2=CE.CA

Άρα η CM εφάπτεται του κύκλου (A,E,M) οπότε  \angle EMC= \angle B=30^0
Διάμεσος και ίσες γωνίες.png
Διάμεσος και ίσες γωνίες.png (22.02 KiB) Προβλήθηκε 136 φορές


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 14644
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Διάμεσος και ίσες γωνίες

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Νοέμ 26, 2022 1:02 pm

Doloros έγραψε:
Τετ Νοέμ 23, 2022 6:10 pm
Διάμεσος και ίσες γωνίες.png
Έστω τρίγωνο ABC με διάμεσο AM. Αν ισχύουν ,\displaystyle \widehat {BAM} = 15^\circ \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {MAC} = 30^\circ δείξετε ότι \widehat B = 30^\circ .
Τριγωνομετρικά. Με βάση το αρχικό σχήμα, ο Νόμος των Ημιτόνων στα δύο τρίγωνα εκατέρωθεν της διαμέσου δίνει

\displaystyle{\dfrac {BM}{\sin 15} =\dfrac {AM}{\sin B}} και \displaystyle{  \dfrac {CM}{\sin 30} =\dfrac {AM}{\sin (B+45)} }. Διαιρώντας κατά μέλη και απλοποιώντας τους ίσους όρους έχουμε

\displaystyle{\dfrac {\sin 30 }{\sin 15}=\dfrac {\sin (B+45)}{\sin B} }

Προφανής λύση η B=30 (για την απόδειξη, το δεξί μέλος ισούται \dfrac {\sin 75}{\sin 30}= \dfrac {\sin 75}{2\sin 15 \cos 15 } = \dfrac {1}{2\sin 15  }=  
\dfrac {\sin 30}{\sin 15 }, δηλαδή όσο το αριστερό.

Τέλος, το δεξί μέλος είναι γνήσια μονόνοτο ως ίσο με \displaystyle{ \dfrac {\sin B \cos 45 + \cos B \sin 45}{\sin B} = \cos 45 + \cot B \sin 45}, οπότε η λύση είναι μοναδική.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5094
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Διάμεσος και ίσες γωνίες

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Νοέμ 26, 2022 6:58 pm

Καλησπέρα σε όλους. Για λόγους πληρότητας και μόνον, θα τροποποιήσω λιγάκι το τελείωμα της τριγωνομετρικής προσέγγισης του Μιχάλη, δίχως τη χρήση μονοτονίας συνάρτησης.

Για οξεία γωνία B είναι:

 \displaystyle \frac{{\eta \mu 30^\circ }}{{\eta \mu 15^\circ }} = \frac{{\eta \mu (B + 45^\circ )}}{{\eta \mu B}} \Leftrightarrow \frac{{2\eta \mu 15^\circ  \cdot \sigma \upsilon \nu 15^\circ }}{{\eta \mu 15^\circ }} = \frac{{\eta \mu (B + 45^\circ )}}{{\eta \mu B}}

 \displaystyle  \Leftrightarrow 2\sigma \upsilon \nu 15^\circ \eta \mu {\rm B} = \eta \mu (B + 45^\circ ) \Leftrightarrow 2\sigma \upsilon \nu 15^\circ \eta \mu {\rm B} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\eta \mu {\rm B} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sigma \upsilon \nu {\rm B}

 \displaystyle  \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 2 \left( {\sqrt 3  + 1} \right)}}{2}\eta \mu {\rm B} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\eta \mu {\rm B} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sigma \upsilon \nu {\rm B}

 \displaystyle  \Leftrightarrow \left( {\sqrt 3  + 1} \right)\eta \mu {\rm B} = \eta \mu {\rm B} + \sigma \upsilon \nu {\rm B} \Leftrightarrow \sqrt 3  = \sigma \varphi {\rm B} \Leftrightarrow {\rm B} = 30^\circ .


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5094
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Διάμεσος και ίσες γωνίες

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Νοέμ 26, 2022 9:23 pm

Ας δούμε και μια λύση στο πρόβλημα με χρήση εργαλείων Αναλυτικής Γεωμετρίας.

26-11-2022 Γεωμετρία b.png
26-11-2022 Γεωμετρία b.png (23.34 KiB) Προβλήθηκε 49 φορές


Έστω A(0,0), C(1,0) και οι ευθείες  \displaystyle {e_1}:y = \frac{{\sqrt 3 }}{3}x,\;\;{e_2}:y = x

 \displaystyle B \in {e_2}, οπότε  \displaystyle M(a,a), a > 0,  \displaystyle M \in {e_1} και μέσο BC, οπότε  \displaystyle \frac{a}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \cdot \frac{{a + 1}}{2} \Leftrightarrow a = \frac{{\sqrt 3  + 1}}{2}.

Άρα  \displaystyle {\lambda _{BC}} = \frac{{\frac{{\sqrt 3  + 1}}{2}}}{{\frac{{\sqrt 3  + 1}}{2} - 1}} = \frac{{\sqrt 3  + 1}}{{\sqrt 3  - 1}} = 2 + \sqrt 3 , οπότε  \displaystyle {\widehat C_{\varepsilon \xi \omega \tau }} = 75^\circ άρα  \displaystyle \widehat {\rm B} = 30^\circ .


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης