S605 AΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 1174
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

S605 AΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Πέμ Νοέμ 17, 2022 3:43 pm

Προτείνω το θέμα S605 από το 5ο τεύχος των Mathematical Reflections του 2022.
Το θέμα πρότεινε ο Marian Ursărescu, Roman, România.


Έστω τρίγωνο ABC με περίκεντρο O και ακτίνα περιγεγραμμένου κύκλου R.
Έστω R_{a},R_{b},R_{c} oι ακτίνες των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων OBC,OCA,OAB αντίστοιχα.
Αποδείξτε ότι το τρίγωνο ABC είναι ισόπλευρο αν και μόνον αν
R^{3}+R^{2}\left ( R_{a}+R_{b}+R_{c} \right )=4R_{a}R_{b}R_{c}



Λέξεις Κλειδιά:
Henri van Aubel
Δημοσιεύσεις: 164
Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm

Re: S605 AΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Henri van Aubel » Τετ Νοέμ 23, 2022 3:00 pm

 \displaystyle R=\frac{a}{2\sin \angle A}=\frac{b}{2\sin \angle B}=\frac{c}{2\sin \angle C}

 \displaystyle R_{a}=\frac{a}{2\cos \left ( 2\angle A \right ) },R_{b}=\frac{b}{2\cos \left ( 2\angle B \right )},R_{c}=\frac{c}{2\cos \left ( 2\angle C \right )}

Έδωσα μια βοήθεια, πάμε τώρα να κάνουμε πράξεις με μεταβλητές. :) Δεν έχω τον χρόνο να τις κάνω, sorry.


ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 1174
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

Re: S605 AΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Τετ Νοέμ 23, 2022 4:14 pm

Λυπάμαι, αλλά αυτό που γράφεις απέχει πολύ από το να χαρακτηριστεί βοήθεια. Περιμένω πλήρη λύση, σύμφωνα με τους κανονισμούς του forum. Αν συνάδελφε δεν έχεις χρόνο για να γράψεις πλήρη λύση, τότε μπορούμε να περιμένουμε κι άλλες μέρες για να βρεις. Αλλιώς άσε το θέμα καλύτερα...


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11859
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: S605 AΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Νοέμ 23, 2022 5:00 pm

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε:
Πέμ Νοέμ 17, 2022 3:43 pm
Προτείνω το θέμα S605 από το 5ο τεύχος των Mathematical Reflections του 2022.
Το θέμα πρότεινε ο Marian Ursărescu, Roman, România.


Έστω τρίγωνο ABC με περίκεντρο O και ακτίνα περιγεγραμμένου κύκλου R.
Έστω R_{a},R_{b},R_{c} oι ακτίνες των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων OBC,OCA,OAB αντίστοιχα.
Αποδείξτε ότι το τρίγωνο ABC είναι ισόπλευρο αν και μόνον αν
R^{3}+R^{2}\left ( R_{a}+R_{b}+R_{c} \right )=4R_{a}R_{b}R_{c}
Αν το τρίγωνο είναι ισόπλευρο τότε \displaystyle {R_a} = {R_b} = {R_c} = R και προφανώς η αποδεικτέα σχέση ισχύει.
S605.png
S605.png (14.48 KiB) Προβλήθηκε 113 φορές
Έστω ότι R^{3}+R^{2}\left ( R_{a}+R_{b}+R_{c} \right )=4R_{a}R_{b}R_{c}. Υποθέτω αρχικά ότι το τρίγωνο είναι οξυγώνιο.

Στο σχήμα είναι \displaystyle \cos A = \cos \theta  = \frac{{R/2}}{{{R_a}}} \Leftrightarrow {R_a} = \frac{R}{{2\cos A}} και ομοίως \displaystyle {R_b} = \frac{R}{{2\cos B}},{R_c} = \frac{R}{{2\cos C}}.

Η δοσμένη σχέση γράφεται \displaystyle {R^3} + \frac{{{R^3}}}{2}\left( {\frac{1}{{\cos A}} + \frac{1}{{\cos B}} + \frac{1}{{\cos C}}} \right) = \frac{{4{R^3}}}{{8\cos A\cos B\cos C}}

\displaystyle 2\cos A\cos B\cos C + \cos A\cos B + \cos B\cos C + \cos C\cos A = 1 \Leftrightarrow

\displaystyle \cos A\cos B + \cos B\cos C + \cos C\cos A = 1 - 2\cos A\cos B\cos C \geqslant 1 - 2 \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{4}

Αλλά, \displaystyle \cos A\cos B + \cos B\cos C + \cos C\cos A \leqslant \frac{3}{4}, οπότε υποχρεωτικά ισχύει η ισότητα με το τρίγωνο

ABC να προκύπτει ισόπλευρο.


ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 1174
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

Re: S605 AΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Τετ Νοέμ 23, 2022 5:08 pm

Γιώργο, σε ευχαριστώ πολύ για τη λύση σου.
Εκτιμώ ιδιαίτερα τις προσπάθειές σου, τα όσα γράφεις.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης