Φρέσκια
Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis
Φρέσκια
Σε τρίγωνο έστω η διάμεσος και η διχοτόμος . Αν η από το παράλληλη στην κόψει την στο , να δειχθεί ότι .
Λέξεις Κλειδιά:
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Φρέσκια
Έστω το σημείο τομής της εκ του παραλλήλου προς την με την και ας είναι . Τότε το είναι παραλληλόγραμμο (από κατασκευής) και συνεπώς το είναι το μέσο (και) της . Από τη διχοτόμο και την παραλληλία προκύπτει ότι είναι ισοσκελές και με τη διάμεσό του προκύπτει ότι
Με και το μέσο της προκύπτει ότι η δέσμη είναι αρμονική και με το μέσο της
Στο τρίγωνο με τα μέσα των πλευρών του αντίστοιχα προκύπτει ότι και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Y.S. Ωραία πρόταση Νίκο. Θα προσπαθήσω το βραδάκι (γιατί τώρα φεύγω ταξιδάκι ) να δώσω και λύση (σίγουρα γίνεται) με το Περιώνυμο Θεώρημα
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Φρέσκια
Ας δούμε και μια διαφορετική απόδειξη της πρότασης Έστω το σημείο τομής της διχοτόμου με τον περίκυκλο του τριγώνου , με που προφανώς είναι (από την διχοτόμο) το μέσο του τόξου που δεν περιέχει το και με το μέσο της αντίστοιχης χορδής προκύπτει ότι
Από το τραπέζιο με προκύπτει ότι η διέρχεται από τα μέσα των βάσεών του αντίστοιχα (ειδική περίπτωση της ευθείας Gauss – Newton στο πλήρες τετράπλευρο ) .
Στο τρίγωνο με τα μέσα των πλευρών του αντίστοιχα προκύπτει ότι:
εγγράψιμο , άρα ή και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί,
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Φρέσκια
Και κάτι ακόμα Από το τραπέζιο προκύπτει (όπως αναφέρθηκε και στην προηγούμενη ανάρτηση ) ότι η διέρχεται από τα μέσα των βάσεών του αντίστοιχα.
Έτσι με τα μέσα των πλευρών του τριγώνου μέσο της (από το τρίγωνο ) , με , οπότε στο τρίγωνο η είναι συγχρόνως διάμεσος και διχοτόμος , άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές και η θα είναι και ύψος του, δηλαδή ή και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Πιθανόν να έπεται και συνέχεια
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Φρέσκια
Ας δούμε και μια προσέγγιση με τη βοήθεια Θεωρήματος Μενελάου, Θαλή , διχοτόμου
Έστω και χωρίς βλάβη της γενικότητας ας υποθέσουμε ότι .
Από το Θεώρημα του Μενελάου στο τρίγωνο με διατέμνουσα την θα έχουμε: Από
Από το θεώρημα της διχοτόμου (για τα τμήματα που χωρίζει τις απέναντι πλευρές) με τους συνήθεις συμβολισμούς θα έχουμε: οπότε η σχέση γίνεται: ισοσκελές και με διχοτόμο προκύπτει ότι και ύψος, άρα ή και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
-
- Δημοσιεύσεις: 876
- Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm
Re: Φρέσκια
Έγραψα κατευθείαν τη λύση, για να μην σας κουράζω με τα λόγια. Έπαιξα σε γήπεδο 5x5 το πρωί (με παιδιά και μεγάλους...)
τελευταία επεξεργασία από Henri van Aubel σε Κυρ Οκτ 09, 2022 8:04 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Δημοσιεύσεις: 876
- Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm
Re: Φρέσκια
Επανέρχομαι και δίνω τη λύση μου, μόνο για λόγους διατύπωσης.
Έστω
Θεώρημα Μενέλαου στο τρίγωνο με διατέμνουσα
Λόγω της παραλληλίας το θεώρημα του Θαλή μας δίνει:
Οπότε από προκύπτει ότι:
Από Θ. εσωτερικής διχοτόμου στο τρίγωνο παίρνουμε:
Οπότε από προκύπτει ότι . Αφού έπεται ότι
Έστω
Θεώρημα Μενέλαου στο τρίγωνο με διατέμνουσα
Λόγω της παραλληλίας το θεώρημα του Θαλή μας δίνει:
Οπότε από προκύπτει ότι:
Από Θ. εσωτερικής διχοτόμου στο τρίγωνο παίρνουμε:
Οπότε από προκύπτει ότι . Αφού έπεται ότι
τελευταία επεξεργασία από Henri van Aubel σε Κυρ Οκτ 09, 2022 8:11 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: Φρέσκια
Φέρνω παράλληλη από το στην και τέμνει την στο και έστω το σημείο τομής των .
Η δέσμη είναι αρμονική και άρα η θα τέμνει τις τρεις άλλες ακτίνες της δέσμης στα σημεία με . Φέρνω τώρα κάθετη στην διχοτόμο στο και τέμνει την στο . Πάλι εδώ η δέσμη είναι αρμονική .
Η πάλι ως παράλληλη στην ακτίνα θα τέμνει τις τρεις άλλες ακτίνες της δέσμης στα σημεία με
Από τις έχω: κι αφού ( το είναι παραλληλόγραμμο ) θα είναι .
Έτσι όμως θα είναι και .
Σχετικά με την άσκηση δείτε αυτό
Η άσκηση είναι και στο εξαίρετο βιβλίο « Γεωμετρία για διαγωνισμούς » του Μπάμπη Στεργίου, σελίδα αριθ. ( λυμένη με μετρικές σχέσεις)
Οι λύσεις του Στάθη σε χρόνο είναι χαρακτηριστικό «των στροφών» του !
Θα την προσπαθήσω φέρνοντας την συμμετροδιάμεσο απο το ( το βράδυ)
Re: Φρέσκια
Κάποτε έρχεται η ώρα των παραπομπών . Βρείτε λοιπόν λύσεις και πληροφορίες εδώ .
Προσέξτε και τον τίτλο που είχα βάλει .
Προσέξτε και τον τίτλο που είχα βάλει .
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5954
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Φρέσκια
Απλά και μόνο για λόγους πλουραλισμού και για ένα γεια στην φιλική παρέα.
Θα πάρουμε ως βάση τη γνωστή πρόταση και τις ιδιότητες που προκύπτουν για το ορθογώνιο που σχηματίζεται από τις διχοτόμους των γωνιών του παραλληλογράμμου
Έτσι έχουμε δηλαδή τελικά το ζητούμενο.
Θα πάρουμε ως βάση τη γνωστή πρόταση και τις ιδιότητες που προκύπτουν για το ορθογώνιο που σχηματίζεται από τις διχοτόμους των γωνιών του παραλληλογράμμου
Έτσι έχουμε δηλαδή τελικά το ζητούμενο.
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Re: Φρέσκια
Κι απο μένα ( Γιατί δεν σε βλέπουμε συχνά ; σε χρειαζόμαστε!)S.E.Louridas έγραψε: ↑Τρί Οκτ 11, 2022 1:29 pmΑπλά και μόνο για λόγους πλουραλισμού και για ένα γεια στην φιλική παρέα.
Θα πάρουμε ως βάση τη γνωστή πρόταση και τις ιδιότητες που προκύπτουν για το ορθογώνιο που σχηματίζεται από τις διχοτόμους των γωνιών του παραλληλογράμμου
Έτσι έχουμε δηλαδή τελικά το ζητούμενο.geogebra-export.png
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Φρέσκια
S.E.Louridas έγραψε: ↑Τρί Οκτ 11, 2022 1:29 pmΑπλά και μόνο για λόγους πλουραλισμού και για ένα γεια στην φιλική παρέα.
Θα πάρουμε ως βάση τη γνωστή πρόταση και τις ιδιότητες που προκύπτουν για το ορθογώνιο που σχηματίζεται από τις διχοτόμους των γωνιών του παραλληλογράμμου
Έτσι έχουμε δηλαδή τελικά το ζητούμενο.geogebra-export.png
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Φρέσκια
Ας δούμε και μία ακόμα διαφορετική απόδειξη . Το ως άνω πρόβλημα είναι ειδική περίπτωση Έστω το συμμετρικό του ως προς το μέσο της . Τότε προφανώς το είναι παραλληλόγραμμο (οι διαγώνιές του διχοτομούνται) και συνεπώς
Με και και από την είναι συνευθειακά, προκύπτει ότι τα τρίγωνα είναι προοπτικά, οπότε σύμφωνα με το Θεώρημα του Desargues οι ευθείες που συνδέουν τις ομόλογες κορυφές του διέρχονται από το ίδιο σημείο, δηλαδή η διέρχεται από το σημείο και συνεπώς και με το μέσο της προκύπτει (από το τρίγωνο , όπου ) ότι είναι το μέσο της
Στην ειδική περίπτωση του προβλήματός μας στο τρίγωνο η παίζει το ρόλο της διχοτόμου και της διαμέσου συγχρόνως, άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές και συνεπώς θα είναι και ύψος του, δηλαδή ή και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5561
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
- Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα
Re: Φρέσκια
Νίκο, όταν εκεί στο χωριό τυχαία άνοιξα ένα βιβλίο Γεωμετρίας από τη Μολδαβία, έπεσα στην συγκεκριμένη άσκηση.Doloros έγραψε: ↑Κυρ Οκτ 09, 2022 8:19 pm
Σχετικά με την άσκηση δείτε αυτό
Η άσκηση είναι και στο εξαίρετο βιβλίο « Γεωμετρία για διαγωνισμούς » του Μπάμπη Στεργίου, σελίδα αριθ. ( λυμένη με μετρικές σχέσεις)
Οι λύσεις του Στάθη σε χρόνο είναι χαρακτηριστικό «των στροφών» του !
Θα την προσπαθήσω φέρνοντας την συμμετροδιάμεσο απο το ( το βράδυ)
Μου φάνηκε γνωστή και είπα να κάνω μια ολιγόλεπτη προσπάθεια, απέτυχα όμως.
Λέω να κοιτάξω τον πρώτο τόμο από τη γεωμετρία που ανέφερες, αλλά φυσικό ήταν να μην την
βρω, αφού είναι στον άλλο τόμο με τη Μετρική Γεωμετρία.
Σε ευχαριστώ που την βρήκες γιατί θα με έτρωγε το γαμώτο να μην έχω πέσει πάνω σε μια τόσο ωραία άσκηση.
Φυσικά η λύση που παρουσιάζεται δεν είναι η πιο κομψή, αλλά πιο πολύ αξία όπως φαίνεται έχει η άσκηση!
Καλό φθινόπωρο !!!
Re: Φρέσκια
Μπάμπη καλησπέρα .Μπάμπης Στεργίου έγραψε: ↑Τρί Οκτ 11, 2022 10:25 pmΝίκο, όταν εκεί στο χωριό τυχαία άνοιξα ένα βιβλίο Γεωμετρίας από τη Μολδαβία, έπεσα στην συγκεκριμένη άσκηση.Doloros έγραψε: ↑Κυρ Οκτ 09, 2022 8:19 pm
Σχετικά με την άσκηση δείτε αυτό
Η άσκηση είναι και στο εξαίρετο βιβλίο « Γεωμετρία για διαγωνισμούς » του Μπάμπη Στεργίου, σελίδα αριθ. ( λυμένη με μετρικές σχέσεις)
Οι λύσεις του Στάθη σε χρόνο είναι χαρακτηριστικό «των στροφών» του !
Θα την προσπαθήσω φέρνοντας την συμμετροδιάμεσο απο το ( το βράδυ)
Μου φάνηκε γνωστή και είπα να κάνω μια ολιγόλεπτη προσπάθεια, απέτυχα όμως.
Λέω να κοιτάξω τον πρώτο τόμο από τη γεωμετρία που ανέφερες, αλλά φυσικό ήταν να μην την
βρω, αφού είναι στον άλλο τόμο με τη Μετρική Γεωμετρία.
Σε ευχαριστώ που την βρήκες γιατί θα με έτρωγε το γαμώτο να μην έχω πέσει πάνω σε μια τόσο ωραία άσκηση.
Φυσικά η λύση που παρουσιάζεται δεν είναι η πιο κομψή, αλλά πιο πολύ αξία όπως φαίνεται έχει η άσκηση!
Καλό φθινόπωρο !!!
Το αντίστροφο της άσκησης το συναντάμε και πιο μπροστά στο ίδιο Βιβλίο στην σελίδα η άσκηση λυμένη με 3 ωραίους τρόπους.
-
- Δημοσιεύσεις: 876
- Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm
Re: Φρέσκια
Πάμε και μία με μετρικές σχέσεις!
Είναι γνωστό ότι
Έχουμε
Αυτή γράφεται απλούστερα ως
Επιπλέον έχουμε
Από και είναι
Από
Είναι γνωστό ότι
Έχουμε
Αυτή γράφεται απλούστερα ως
Επιπλέον έχουμε
Από και είναι
Από
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες