Βρείτε την ακτίνα

#1

: βρείτε την ακτίνα.png (19.43 KiB) Προβλήθηκε 305 φορές

Στο εγγεγραμμένο τετράπλευρο ABCD

, δίδονται τα μήκη $AB\, = a\,\,,\,\,DC = b$ καθώς και η οξεία γωνία , $\theta$ , των διαγώνιων του $AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BD.$

Να βρείτε την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου στο ABCD

.

Προαιρετικό :

Βρείτε τιμές των $a,\,\,b,\,\,\theta$ για τις οποίες η ακτίνα έχει μήκος ακέραιο αριθμό .

#2

Doloros έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 04, 2022 6:36 pm
βρείτε την ακτίνα.png

Στο εγγεγραμμένο τετράπλευρο , δίδονται τα μήκη $AB\, = a\,\,,\,\,DC = b$ καθώς και η οξεία γωνία , $\theta$ , των διαγώνιων του $AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BD.$

Να βρείτε την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου στο .

Προαιρετικό :

Βρείτε τιμές των $a,\,\,b,\,\,\theta$ για τις οποίες η ακτίνα έχει μήκος ακέραιο αριθμό .

: Βρείτε την ακτίνα.Φ.png (18.49 KiB) Προβλήθηκε 245 φορές

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

Doloros έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 04, 2022 6:36 pm
βρείτε την ακτίνα.png

Στο εγγεγραμμένο τετράπλευρο , δίδονται τα μήκη $AB\, = a\,\,,\,\,DC = b$ καθώς και η οξεία γωνία , $\theta$ , των διαγώνιων του $AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BD.$

Να βρείτε την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου στο .

Προαιρετικό :

Βρείτε τιμές των $a,\,\,b,\,\,\theta$ για τις οποίες η ακτίνα έχει μήκος ακέραιο αριθμό .

Ας το κάνουμε εύκολο:

Θεωρούμε τα διαδοχικά σημεία K, L, M

του κύκλου, ώστε να είναι KL=a, LM=b

.

Αφού η γωνία $\vartheta$ έχει μέτρο ίσο με το ημιάθροισμα των τόξων που έχουν αντίστοιχες χορδές a,b

, θα είναι

$\angle KLM =180^o - \vartheta$

Από την επίλυση του τριγώνου KLM

παίρνουμε:

$R=\dfrac{KM}{2sin\measuredangle KLM}=\dfrac{\sqrt{a^2+b^2-2abcos(180^o - \vartheta )}}{2sin(180^o - \vartheta) }$ κ.λπ.

Για το προαιρετικό, προαιρούμαι να μην...

Υ Γ. Γιώργο!!!! Καλημέρα!!!

#4

Doloros έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 04, 2022 6:36 pm
βρείτε την ακτίνα.png

Στο εγγεγραμμένο τετράπλευρο , δίδονται τα μήκη $AB\, = a\,\,,\,\,DC = b$ καθώς και η οξεία γωνία , $\theta$ , των διαγώνιων του $AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BD.$

Να βρείτε την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου στο .

Προαιρετικό :

Βρείτε τιμές των $a,\,\,b,\,\,\theta$ για τις οποίες η ακτίνα έχει μήκος ακέραιο αριθμό .

Καλημέρα Κώστα, καλημέρα σε όλους!

Με τους συμβολισμούς του σχήματος είναι $\displaystyle \sin \omega = \frac{a}{{2R}},\sin \varphi = \frac{b}{{2R}},\cos \varphi = \frac{{\sqrt {4{R^2} - {b^2}} }}{{2R}}.$

: Βρείτε την ακτίνα.Φ.png (18.49 KiB) Προβλήθηκε 224 φορές

$\displaystyle \sin \omega = \sin (\theta - \varphi ) \Leftrightarrow \frac{a}{{2R}} = \sin \theta \frac{{\sqrt {4{R^2} - {b^2}} }}{{2R}} - \cos \theta \frac{b}{{2R}} \Leftrightarrow \frac{{a + b\cos \theta }}{{\sin \theta }} = \sqrt {4{R^2} - {b^2}}$

και υψώνοντας στο τετράγωνο παίρνω, $\boxed{R = \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + 2ab\cos \theta } }}{{2\sin \theta }}}$

Όλα ακέραια: $a=8,b=6,\theta=90^\circ$ και R=5

(και δεν είναι οι μόνες τιμές).

Βρείτε την ακτίνα

Βρείτε την ακτίνα

Re: Βρείτε την ακτίνα

Re: Βρείτε την ακτίνα

Re: Βρείτε την ακτίνα

Μέλη σε σύνδεση