Μεγάλες κατασκευές 89

KARKAR · #1

: Μεγάλες κατασκευές 89.png (11.22 KiB) Προβλήθηκε 454 φορές

Οι κύκλοι (O) , (K)

είναι ίσοι και εφαπτόμενοι , ενώ το σημείο

του

βρίσκεται

στην προέκταση της διακέντρου . Με ποια ( θετική) κλίση πρέπει να φέρουμε ημιευθεία

, τέτοια ώστε αν τέμνει τον (K)

στα σημεία

, να προκύπτει : AP=2ST

;

Henri van Aubel · #2

Καλημέρα!! Άλλο ένα όμορφο θέμα!!!

Έχουμε τις παρακάτω σχέσεις:

Θέτουμε $\displaystyle AO=R$

$\displaystyle \frac {AP}{2R}=\cos \angle TAK (1)$ .

$\displaystyle \frac {ST}{R}=\frac {\sin (180^\circ-2\cdot \angle ATK)}{\sin \angle ATK}=\frac {\cos \angle ATK}{\sin 30^\circ} (2)$ .

Από αυτές τις δύο σχέσεις έχουμε :

$\displaystyle \frac {AP}{ST}=\frac {\cos \angle TAK}{\cos \angle ATK}=2 (3)$

Από τον νόμο των ημιτόνων στο τρίγωνο $\displaystyle ATK$ έχουμε:

$\displaystyle \frac {TK}{AK}=\frac {\sin \angle TAK}{\sin \angle ATK}=\frac {R}{3R}=\frac {1}{3}$ $\displaystyle (4)$

Από τις σχέσεις $\displaystyle (3),(4)$ θα προκύψει (λύνοντας το σύστημα) ότι $\displaystyle \boxed {\tan \angle TAK=\frac {\sqrt {6}}{8}}$ .

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 01, 2022 10:46 am
Μεγάλες κατασκευές 89.pngΟι κύκλοι είναι ίσοι και εφαπτόμενοι , ενώ το σημείο του βρίσκεται

στην προέκταση της διακέντρου . Με ποια ( θετική) κλίση πρέπει να φέρουμε ημιευθεία

, τέτοια ώστε αν τέμνει τον στα σημεία , να προκύπτει : ;

Έστω

το μέσο του ST.

Θέτω

οπότε

: Μεγάλες κατασκευές 89.png (20.71 KiB) Προβλήθηκε 420 φορές

$\displaystyle \frac{{AP}}{{PM}} = \frac{{AB}}{{BK}} \Leftrightarrow \frac{{2x}}{{PM}} = \frac{{2R}}{R} \Leftrightarrow PM = x \Leftrightarrow PS = SM = MT = \frac{x}{2}$

$\displaystyle A{K^2} - A{M^2} = M{K^2} = S{K^2} - S{M^2} \Leftrightarrow 9{R^2} - 9{x^2} = {R^2} - \frac{{{x^2}}}{4} \Leftrightarrow {R^2} = \frac{{35{x^2}}}{{32}},$

απ' όπου $\displaystyle MK = \frac{{3x\sqrt 6 }}{8}$ και $\boxed{\tan \theta = \frac{{MK}}{{AM}} = \frac{{\sqrt 6 }}{8}}$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 01, 2022 10:46 am
Μεγάλες κατασκευές 89.pngΟι κύκλοι είναι ίσοι και εφαπτόμενοι , ενώ το σημείο του βρίσκεται

στην προέκταση της διακέντρου . Με ποια ( θετική) κλίση πρέπει να φέρουμε ημιευθεία

, τέτοια ώστε αν τέμνει τον στα σημεία , να προκύπτει : ;

Φέρνω το απόστημα

και έστω $PS = y\,\,\kappa \alpha \iota \,\,$ MS = MT = x

. Αν

το σημείο επαφής των δύο κύκλων θα έχω:

$\dfrac{{AP}}{{PM}} = \dfrac{{AB}}{{BK}} = 2 \Rightarrow 4x = 2\left( {x + y} \right) \Rightarrow \boxed{x = y}$ .

: μεγάλες κατασκευές 89.png (23.09 KiB) Προβλήθηκε 380 φορές

Φέρνω στην

στο

κάθετη και τέμνει την ευθεία

στο

. Η τομή του ημικυκλίου διαμέτρου

, με τον δεξιό κύκλο ,μας ορίζει το

και προκύπτει η ευθεία που θέλουμε .

KARKAR · #5

: Μεγάλες κατασκευές 89.png (11.55 KiB) Προβλήθηκε 362 φορές

Μπορείτε επίσης να καταφύγετε και στην προτεινόμενη στο σχήμα κατασκευή .

Ακριβέστερα , αν έτσι ορισθεί το σημείο

, θα προκύψει το : AP=2ST

!

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 01, 2022 10:46 am
Μεγάλες κατασκευές 89.pngΟι κύκλοι είναι ίσοι και εφαπτόμενοι , ενώ το σημείο του βρίσκεται

στην προέκταση της διακέντρου . Με ποια ( θετική) κλίση πρέπει να φέρουμε ημιευθεία

, τέτοια ώστε αν τέμνει τον στα σημεία , να προκύπτει : ;

Είναι, $\dfrac{OL}{AN}= \dfrac{KO}{KA} \Rightarrow \dfrac{3x+y}{5x+y}= \dfrac{2}{3} \Rightarrow x=y$ και προφανώς είναι PQ=QB=m

$PQ.PB=PS.PT \Rightarrow 2m^2=3x^2 \Rightarrow tan \theta = \dfrac{m}{4x}= \dfrac{ \sqrt{6} }{8}$

: μεγάλες κατασκευές 89.png (21.9 KiB) Προβλήθηκε 345 φορές

Μεγάλες κατασκευές 89

Μεγάλες κατασκευές 89

Re: Μεγάλες κατασκευές 89

Re: Μεγάλες κατασκευές 89

Re: Μεγάλες κατασκευές 89

Re: Μεγάλες κατασκευές 89

Re: Μεγάλες κατασκευές 89

Μέλη σε σύνδεση