Ζωντανό τμήμα

KARKAR · #1

: Ζωντανό τμήμα.png (9.8 KiB) Προβλήθηκε 375 φορές

Η ακτίνα

είναι μεσοκάθετη της διαμέτρου AOB=2r

ενός ημικυκλίου . Σημείο

κινείται στο τόξο $\overset{\frown}{MB}$ . Η

τέμνει την

στο

. Η κάθετη προς την

στο

,

τέμνει την εφαπτομένη του ημικυκλίου στο

, στο σημείο

. Υπολογίστε το τμήμα

.

STOPJOHN · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 27, 2022 2:00 pm
Ζωντανό τμήμα.pngΗ ακτίνα είναι μεσοκάθετη της διαμέτρου ενός ημικυκλίου . Σημείο

κινείται στο τόξο $\overset{\frown}{MB}$ . Η τέμνει την στο . Η κάθετη προς την στο ,

τέμνει την εφαπτομένη του ημικυκλίου στο , στο σημείο . Υπολογίστε το τμήμα .

$PT\perp OM,AB\perp OM\Rightarrow PT//AB\Rightarrow \hat{STP}=\hat{TAO}=\omega =POB$

Το τετράπλευρο TSPO

είναι εγράψιμο αφού $\hat{OTP}=\hat{OSP}=90^{0},\hat{TPO}=\hat{TSO}$
Οπότε το τετράπλευρο TSOP

είναι ισοσκελές τραπέζιο και OS=r=TP

Henri van Aubel · #3

Θέτουμε $\angle BAS=\theta .$ Τότε ισχύουν οι παρακάτω ισότητες γωνιών:

$\displaystyle \angle STP=\theta (1)$

$\displaystyle \angle TSP=90^\circ+\theta(2)$

$\displaystyle \angle SPT=90^\circ-2 \theta(3)$

Οπότε $\displaystyle \frac {TS}{TP}=\frac {\sin (90^\circ- 2 \theta)}{\sin (90^\circ+\theta)}=\frac {\cos 2 \theta}{\cos \theta}(4)$

Από το ορθογώνιο τρίγωνο $ABS(\angle ASB=90^\circ)$ παίρνουμε $\displaystyle \frac {AS}{2R}=\cos \theta (5)$

Από το ορθογώνιο τρίγωνο $AOT(\angle AOT=90^\circ)$ παίρνουμε $\displaystyle \frac {AT}{R}=\frac {1}{\cos \theta}(6)$

Από τις σχέσεις $\displaystyle (5),(6)$ προκύπτει ότι $\displaystyle \frac {TS}{R}=\frac {\cos 2 \theta}{\cos \theta}(7)$

Οπότε τώρα από τις σχέσεις $\displaystyle (4),(7)$ λαμβάνουμε $\displaystyle \frac {TS}{TP}=\frac {TS}{R}$ , άρα τελικά $\displaystyle TP=R$ .

Η λύση αυτή αφιερώνεται στα παιδιά του

.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 27, 2022 2:00 pm
Ζωντανό τμήμα.pngΗ ακτίνα είναι μεσοκάθετη της διαμέτρου ενός ημικυκλίου . Σημείο

κινείται στο τόξο $\overset{\frown}{MB}$ . Η τέμνει την στο . Η κάθετη προς την στο ,

τέμνει την εφαπτομένη του ημικυκλίου στο , στο σημείο . Υπολογίστε το τμήμα .

$\angle BOT= \angle OTP= \angle OSP= \angle TSB=90^0 \Rightarrow T,S,P,B,O$ ομοκυκλικά ,άρα $PB \bot OB \Rightarrow TPBO$

ορθογώνιο ,οπότε TP=R

: Ζωντανό τμήμα.png (19.42 KiB) Προβλήθηκε 325 φορές

Ζωντανό τμήμα

Ζωντανό τμήμα

Re: Ζωντανό τμήμα

Re: Ζωντανό τμήμα

Re: Ζωντανό τμήμα

Μέλη σε σύνδεση