Τραπέζιο

#1

Ένα τραπέζιο έχει εμβαδό ίσο με

(τετραγωνικές μονάδες) και το άθροισμα των μηκών των διαγωνίων του είναι ίσο με

(μονάδες).
Να υπολογίσετε το μήκος του ύψους του τραπεζίου.

STOPJOHN · #2

socrates έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 24, 2022 8:57 pm
Ένα τραπέζιο έχει εμβαδό ίσο με (τετραγωνικές μονάδες) και το άθροισμα των μηκών των διαγωνίων του είναι ίσο με (μονάδες).
Να υπολογίσετε το μήκος του ύψους του τραπεζίου.

Εστω $AB=b,DC=a,AN\perp DC,AN=SC=\upsilon ,DB//CL,AC=\delta _{1},DB=\delta _{2},$

Από την υπόθεση ισχύουν

$(a+b).\upsilon =4,\delta _{1}+\delta _{2}=4$

Στο τρίγωνο

$ACL, AL=a+b,AC=\delta _{1},CL=4-\delta _{1},SC=\dfrac{4}{\upsilon }, (ACL)=2,(1), (ACL)=\sqrt{\tau (\tau -AL)(\tau -CL)(\tau -AC)},(2),$

Οπου

$\tau =2+\dfrac{2}{\upsilon },\tau -AL=2-\dfrac{2}{\upsilon }> 0\Leftrightarrow \upsilon > 1,(*) , \tau -CL=\dfrac{2}{\upsilon }-2+\delta _{1},\tau -AC=2-\delta _{1}+\dfrac{2}{\upsilon }, (1),(2)\Rightarrow 1=(1-\dfrac{1}{\upsilon ^{2}})[\dfrac{4}{\upsilon ^{2}}-(\delta _{1}-2)^{2}]\Leftrightarrow \dfrac{(\upsilon ^{2}-2)^{2}}{\upsilon ^{2}(\upsilon ^{2}-1)}=-(\delta _{1}-2)^{2}$

και λόγω της $(*),\upsilon =\sqrt{2}$

#3

socrates έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 24, 2022 8:57 pm
Ένα τραπέζιο έχει εμβαδό ίσο με (τετραγωνικές μονάδες) και το άθροισμα των μηκών των διαγωνίων του είναι ίσο με (μονάδες).
Να υπολογίσετε το μήκος του ύψους του τραπεζίου.

Έστω $BD = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC = y$ , άρα : $\boxed{x + y = 4\,\,\left( 1 \right)}$ . Φέρνω από το

παράλληλη στην

και τέμνει την

στο

.

Προφανώς $\left( {ABCD} \right) = \left( {ASC} \right) = 4$ , συνεπώς : $\dfrac{1}{2}xy\sin \theta = 2 \Leftrightarrow \boxed{xy\sin \theta = 4\,\,\left( 2 \right)}$ .

: Τραπέζιο _Κοντογιώργης.png (23.26 KiB) Προβλήθηκε 392 φορές

Έστω τώρα $x = k \in \left( {0,4} \right) \Rightarrow y = 4 - k \Rightarrow xy = k\left( {4 - k} \right) \Rightarrow xy = f(k) = - 4{k^2} + 4k$ , που παρουσιάζει μέγιστη τιμή για k = 2

το

.

Δηλαδή απαιτούμαι το εμβαδόν του τραπεζίου να έχει τη μεγαλύτερη δυνατή τιμή.

Αναγκαστικά λοιπόν στην $\left( 2 \right)$ , $\sin \theta = 1$ και άρα $AS \bot AC\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AS = AC = 2$ .

Οπότε το ύψος του τραπεζίου θα είναι το ύψος προς την υποτείνουσα ισοσκελούς και ορθογωνίου τριγώνου με κάθετες πλευρές μήκους

κάθε μια . Δηλαδή $\sqrt 2$

: Τραπέζιο _Κοντογιώργης_ok.png (14.57 KiB) Προβλήθηκε 388 φορές

#4

https://artofproblemsolving.com/community/c6h2928785

Τραπέζιο

Τραπέζιο

Re: Τραπέζιο

Re: Τραπέζιο

Re: Τραπέζιο

Μέλη σε σύνδεση