mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Σεπ 21, 2022 1:22 pm**

: Ένα απ' τα πολλά.png (23.24 KiB) Προβλήθηκε 807 φορές

Ένα σημείο

, βρίσκεται σε απόσταση OS=8

, από το κοινό κέντρο των κύκλων (O,2)

και

.

Σχεδιάζω τυχούσα τέμνουσα SDA

του μικρού κύκλου . Εντοπίστε σημείο

του μεγάλου κύκλου , ώστε

αν οι TD , TA

τέμνουν τον μικρό στα σημεία C , B

αντίστοιχα , τα σημεία S , C , B

να είναι συνευθειακά .

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Σεπ 21, 2022 4:53 pm**

Έστω

το σημείο τομής των

και

. Τότε (θεώρημα Brocard) η

είναι η πολική του

ως προς τον μικρό κύκλο. Αν λοιπόν

η αντιστροφή του

ως προς τον μικρό κύκλο τότε το

είναι οποιοδήποτε από τα δύο σημεία τομής του μεγάλου κύκλου και της κάθετης στην

που περνά από το σημείο

.

Φαντάζομαι το «απαιτητικό» έχει να κάνει με την αποφυγή των πολικών που ίσως αρκετοί που λαμβάνουν μέρος σε Θαλή/Ευκλείδη να μην τη γνωρίζουν.

Προσθήκη αργότερα: Στην πιο πάνω λύση δεν χρησιμοποίησα καθόλου τις αποστάσεις μεταξύ των σημείων. Δεν είναι δύσκολο χρησιμοποιώντας τη λύση μου να δείξουμε ότι ST = 9

. Ίσως εκεί να στόχευε ο θεματοθέτης αλλά με αποφυγή των πολικών.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Σεπ 21, 2022 5:31 pm**

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 21, 2022 1:22 pm
Ένα απ' τα πολλά.pngΈνα σημείο , βρίσκεται σε απόσταση , από το κοινό κέντρο των κύκλων και .

Σχεδιάζω τυχούσα τέμνουσα του μικρού κύκλου . Εντοπίστε σημείο του μεγάλου κύκλου , ώστε

αν οι τέμνουν τον μικρό στα σημεία αντίστοιχα , τα σημεία να είναι συνευθειακά .

Έστω λυμένο το πρόβλημα .

Με σταθερά τα σημεία

και

καθώς και τους ομόκεντρους κύκλους ,

φέρνω την πολική του

ως προς τον μικρό κύκλο και τέμνει σε σταθερό σημείο

την

θα διέρχεται δε από το

.

: Απαιτηιτική συνευθειακότητα.png (28.7 KiB) Προβλήθηκε 749 φορές

Θα διέρχεται δε από το μεταβλητό σημείο

των $AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DB$ και το μεταβλητό σημείο

της $\overline {ADB}$ ( εφ΄ όσον αυτή μεταβάλλεται )

και από το σταθερό σημείο

που τέμνει τον μικρό κύκλο . Η τετράδα $\left( {A,D\backslash E,S} \right)$

είναι αρμονική . θα ισχύουν : $S{F^2} = {8^2} - {2^2} = 60 = 8SK \Rightarrow \boxed{SK = \frac{{15}}{2}}$ .

Η κάθετη στην

στο σταθερό

τέμνει το μεγάλο κύκλο στο σημείο

. Δύο λύσεις.