mathematica.gr


https://mathematica.gr/forum/

Υποχρεωτικά διάμεσος

https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=178&t=72141

Σελίδα 1 από 1

Υποχρεωτικά διάμεσος

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Αύγ 25, 2022 8:13 am
από KARKAR
Υποχρεωτικά διάμεσος.png
Υποχρεωτικά διάμεσος.png (11.38 KiB) Προβλήθηκε 1267 φορές
Στο ισοσκελές τρίγωνο ABC , με : AB=AC=4 , BC=5 , θεωρούμε σημείο S της BC ,

τέτοιο ώστε : BS=3 , SC=2 .

Προεκτείνουμε την AB κατά τμήμα BD=2 , την AC κατά τμήμα CE=5 και την AS , μέχρις

ότου τμήσει το τμήμα DE , στο σημείο M . Δείξτε ότι το M είναι το μέσο του DE .

Μπορείτε να δημιουργήσετε παρόμοιο θέμα - με ανόμοιο προς το δοθέν τρίγωνο - με ακέραια τμήματα ;

Re: Υποχρεωτικά διάμεσος

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Αύγ 25, 2022 3:38 pm
από cool geometry
\boldsymbol{\bigtriangleup ABC:\frac{BS}{SC}=\frac{AB}{AC}\cdot \frac{\eta \mu BAS}{\eta \mu SAC}=\frac{\eta \mu DAM}{\eta \mu EAM}=\frac{3}{2}(1).}
\boldsymbol{\bigtriangleup ADE:\frac{DM}{ME}=\frac{AD}{AE}\cdot \frac{\eta \mu DAM}{\eta \mu EAM}=\frac{6}{9}\cdot \frac{3}{2}=1\Leftrightarrow DM=ME.}

Re: Υποχρεωτικά διάμεσος

Δημοσιεύτηκε: Παρ Αύγ 26, 2022 1:23 am
από Doloros
KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 25, 2022 8:13 am
 Υποχρεωτικά διάμεσος.pngΣτο ισοσκελές τρίγωνο ABC , με : AB=AC=4 , BC=5 , θεωρούμε σημείο S της BC ,

τέτοιο ώστε : BS=3 , SC=2 .

Προεκτείνουμε την AB κατά τμήμα BD=2 , την AC κατά τμήμα CE=5 και την AS , μέχρις

ότου τμήσει το τμήμα DE , στο σημείο M . Δείξτε ότι το M είναι το μέσο του DE .

Μπορείτε να δημιουργήσετε παρόμοιο θέμα - με ανόμοιο προς το δοθέν τρίγωνο - με ακέραια τμήματα ;
α)

Φέρνω από το B παράλληλη στην DE και τέμνει την AE στο T. Αφού AB = 2BD θα είναι , AT = 2TE οπότε υποχρεωτικά : CT = 2\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TE = 3\,\,\,\left( 1 \right).

Φέρνω τώρα από το A παράλληλη στην DE και τέμνει την ευθεία BC στο J.

Αν θέσω CJ = x επειδή AC = 2CT θα είναι CJ = 2BC \Rightarrow CJ = x = 10\,\,\left( 2 \right).
Υποχρεωτικά διάμεσος_a_ok.png
Υποχρεωτικά διάμεσος_a_ok.png (19.73 KiB) Προβλήθηκε 1117 φορές
Τώρα όμως λόγω των \left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 2 \right) θα ισχύει : \boxed{\frac{{SC}}{{SB}} = \frac{{JC}}{{JB}} \Leftrightarrow \frac{2}{3} = \frac{{10}}{{15}}} .

Δηλαδή η δέσμη: A\left( {C,B\backslash S,J} \right) είναι αρμονική κι αφού η ακτίνα AJ//DE οι τρεις

άλλες ακτίνες της δέσμης την τέμνουν στα σημεία D,E,M με το M μέσο του DE.

Με βάση την απόδειξη που έκανα μπορώ να σου κάνω άπειρα ( και κατά παραγγελία! )
Υποχρεωτικά διάμεσος ένα παράδειγμα.png
Υποχρεωτικά διάμεσος ένα παράδειγμα.png (24.96 KiB) Προβλήθηκε 1110 φορές

Re: Υποχρεωτικά διάμεσος

Δημοσιεύτηκε: Παρ Αύγ 26, 2022 1:54 pm
από Demetres
Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και βαρυκεντρικές συντεταγμένες.

Αν A=(1,0,0), B=(0,1,0) και C = (0,0,1) τότε εύκολα βρίσκουμε S(0,\frac{2}{5},\frac{3}{5}), D = (-\frac{1}{2},\frac{3}{2},0) και E = (-\frac{5}{4},0,\frac{9}{4}). Αν M το μέσο της DE τότε έχουμε M = (-\frac{7}{8},\frac{3}{4},\frac{9}{8}).

Τα A,S,M είναι συνευθειακά αφού 15S = 7A + 8M.

Re: Υποχρεωτικά διάμεσος

Δημοσιεύτηκε: Παρ Αύγ 26, 2022 8:26 pm
από nickchalkida
\displaystyle{ \left. \begin{aligned} & (ADS) = {3 \over 2} (ABS) \cr & (AES) = {9 \over 4} (ACS) \cr \end{aligned} \right\} \rightarrow {(ADS) \over (AES)} = {3 \over 2}{4 \over 9}{3 \over 2} = 1 \rightarrow DM = ME }

Re: Υποχρεωτικά διάμεσος

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Αύγ 27, 2022 2:44 am
από Doloros
Demetres έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 26, 2022 1:54 pm
 Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και βαρυκεντρικές συντεταγμένες.

Αν A=(1,0,0), B=(0,1,0) και C = (0,0,1) τότε εύκολα βρίσκουμε S(0,\frac{2}{5},\frac{3}{5}), D = (-\frac{1}{2},\frac{3}{2},0) και E = (-\frac{5}{4},0,\frac{9}{4}). Αν M το μέσο της DE τότε έχουμε M = (-\frac{7}{8},\frac{3}{4},\frac{9}{8}).

Τα A,S,M είναι συνευθειακά αφού 15S = 7A + 8M.
:coolspeak:

Re: Υποχρεωτικά διάμεσος

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Αύγ 27, 2022 2:46 am
από Doloros
nickchalkida έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 26, 2022 8:26 pm
 \displaystyle{ \left. \begin{aligned} & (ADS) = {3 \over 2} (ABS) \cr & (AES) = {9 \over 4} (ACS) \cr \end{aligned} \right\} \rightarrow {(ADS) \over (AES)} = {3 \over 2}{4 \over 9}{3 \over 2} = 1 \rightarrow DM = ME }
:coolspeak:

Νίκο να σε βλέπουμε πιο συχνά .

Re: Υποχρεωτικά διάμεσος

Δημοσιεύτηκε: Δευ Αύγ 29, 2022 2:45 pm
από Μιχάλης Τσουρακάκης
KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 25, 2022 8:13 am
 Υποχρεωτικά διάμεσος.pngΣτο ισοσκελές τρίγωνο ABC , με : AB=AC=4 , BC=5 , θεωρούμε σημείο S της BC ,

τέτοιο ώστε : BS=3 , SC=2 .

Προεκτείνουμε την AB κατά τμήμα BD=2 , την AC κατά τμήμα CE=5 και την AS , μέχρις

ότου τμήσει το τμήμα DE , στο σημείο M . Δείξτε ότι το M είναι το μέσο του DE .

Μπορείτε να δημιουργήσετε παρόμοιο θέμα - με ανόμοιο προς το δοθέν τρίγωνο - με ακέραια τμήματα ;
Μενέλαος στο DEZ με διατέμνουσα MHA

\dfrac{DM}{ME} . \dfrac{EH}{HZ} . \dfrac{AZ}{AD} =1 \Rightarrow \dfrac{DM}{ME} .\dfrac{2}{3}. \dfrac{9}{6}=1 \Rightarrow DM=ME
διοάμεσος οπωσδήποτε.png
διοάμεσος οπωσδήποτε.png (19.61 KiB) Προβλήθηκε 900 φορές

Re: Υποχρεωτικά διάμεσος

Δημοσιεύτηκε: Δευ Αύγ 29, 2022 5:15 pm
από STOPJOHN
KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 25, 2022 8:13 am
 Υποχρεωτικά διάμεσος.pngΣτο ισοσκελές τρίγωνο ABC , με : AB=AC=4 , BC=5 , θεωρούμε σημείο S της BC ,

τέτοιο ώστε : BS=3 , SC=2 .

Προεκτείνουμε την AB κατά τμήμα BD=2 , την AC κατά τμήμα CE=5 και την AS , μέχρις

ότου τμήσει το τμήμα DE , στο σημείο M . Δείξτε ότι το M είναι το μέσο του DE .

Μπορείτε να δημιουργήσετε παρόμοιο θέμα - με ανόμοιο προς το δοθέν τρίγωνο - με ακέραια τμήματα ;
Τα τρίγωνα ABC,BCE είναι ισοσκελή με AB=AC=4,BC=CE=5,\hat{CEB}=\omega

Αρα \hat{ABE}=3\hat{AEB} και από βασική ασκηση

4BE^{2}=25.13\Leftrightarrow BE=\dfrac{5}{2}\sqrt{13},(1),

Στο τρίγωνο BCEμε τέμνουσα

ASL,\dfrac{EL}{LB}=\dfrac{3}{2},(2), (1),(2)\Rightarrow BL=\sqrt{13},LE=\dfrac{3}{2}\sqrt{13},

Στο τρίγωνο DBE με τέμνουσα

MLA,\dfrac{EL}{LB}\dfrac{4}{6}.\dfrac{DM}{ME}=1,(3), (2),(3)\Rightarrow DM=ME
Όλοι οι χρόνοι είναι UTC+03:00
Σελίδα 1 από 1
Powered by phpBB® Forum Software © phpBB Limited
https://www.phpbb.com/