Ισεμβαδικότητα

KARKAR · #1

: Ισεμβαδικότητα.png (228.45 KiB) Προβλήθηκε 490 φορές

Σε σημείο

ημικυκλίου διαμέτρου

, φέρουμε εφαπτομένη , η οποία τέμνει την

προέκταση της

στο σημείο

. Το

είναι η προβολή του

στην εφαπτομένη .

Βρείτε την θέση του

, για την οποία προκύπτει : (AA'S)=(SBT)

.

cool geometry · #2

$\angle A{'}AS=\angle SAB=\angle BST=y, \angle BTS=90^{0}-2y, \angle SBT=90^{0}+y$
$SA=2R\cdot \sin y, SA{'}=2R\cdot \sin y\cdot \cos y,AA{'}=2R\cdot sin^{2}y\Rightarrow (AA{'}S)=2R^{2}\cdot \cos y\cdot sin ^{3}y(1)$

$SB=2R\cdot \cos y\Rightarrow \frac{2R\cos y}{\sin 2y}=\frac{ST}{\sin y}\Rightarrow ST=2R\cdot \frac{\cos y\cdot \sin y}{\sin 2y}\Rightarrow (SBT)=\frac{1}{2}\cdot 2R\cdot \frac{\cos y\cdot \sin y}{\sin 2y}\cdot 2R\cdot \cos y=R^{2}\cdot \tan 2y\cdot \cos y(2)$
$(1),(2)\Rightarrow \tan 2y\cdot \cos y=2sin^{3}y\cdot \cos y\Rightarrow \tan 2y=2sin^{3}y$ , ...κλπ

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 12, 2022 12:29 pm
Ισεμβαδικότητα.png Σε σημείο ημικυκλίου διαμέτρου , φέρουμε εφαπτομένη , η οποία τέμνει την

προέκταση της στο σημείο . Το είναι η προβολή του στην εφαπτομένη .

Βρείτε την θέση του , για την οποία προκύπτει : .

Ας είναι

η προβολή του

στη διάμετρο

. είναι προφανές ότι η ισεμβαδικότητα θα επιτευχθεί εφ όσον BT = AA' = x

, αφού

διχοτόμος της $\widehat {A'AB}$ .

: Ισεμβαδικότητα.png (23.38 KiB) Προβλήθηκε 458 φορές

Τότε θα ισχύουν ταυτόχρονα: $\left\{ \begin{gathered} S{T^2} = TB \cdot TA \hfill \\ S{A^2} = AD \cdot AB \hfill \\ S{T^2} - S{A^2} = 2AT \cdot \frac{{DB}}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} S{T^2} = x\left( {2R + x} \right) \hfill \\ S{A^2} = 2Rx \hfill \\ S{T^2} - S{A^2} = \left( {2R - x} \right)x \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{x = R\sqrt 2 }$

#4

cool geometry έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 12, 2022 1:15 pm
$\angle A{'}AS=\angle SAB=\angle BST=y, \angle BTS=90^{0}-2y, \angle SBT=90^{0}+y$
$SA=2R\cdot \sin y, SA{'}=2R\cdot \sin y\cdot \cos y,AA{'}=2R\cdot sin^{2}y\Rightarrow (AA{'}S)=2R^{2}\cdot \cos y\cdot sin ^{3}y(1)$

$SB=2R\cdot \cos y\Rightarrow \frac{2R\cos y}{\sin 2y}=\frac{ST}{\sin y}\Rightarrow ST=2R\cdot \frac{\cos y\cdot \sin y}{\sin 2y}\Rightarrow (SBT)=\frac{1}{2}\cdot 2R\cdot \frac{\cos y\cdot \sin y}{\sin 2y}\cdot 2R\cdot \cos y=R^{2}\cdot \tan 2y\cdot \cos y(2)$
$(1),(2)\Rightarrow \tan 2y\cdot \cos y=2sin^{3}y\cdot \cos y\Rightarrow \tan 2y=2sin^{3}y$ , ...κλπ

Θα ήμουν χαρούμενος αν έβλεπα και τα ...κλπ

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 12, 2022 12:29 pm
Ισεμβαδικότητα.png Σε σημείο ημικυκλίου διαμέτρου , φέρουμε εφαπτομένη , η οποία τέμνει την

προέκταση της στο σημείο . Το είναι η προβολή του στην εφαπτομένη .

Βρείτε την θέση του , για την οποία προκύπτει : .

Ας είναι

το κέντρο του ημικυκλίου και OS = R

η ακτίνα του . Επειδή $\widehat {A'SA} = \widehat {SBA}$ ( χορδής κι εφαπτομένης) , αβίαστα προκύπτουν:

$\widehat {{\theta _{}}} = \widehat {{\theta _2}} = \widehat {{\theta _3}} = \widehat {{\theta _1}}$ , οπότε με $SD \bot AB$ θα είναι , $AA' = AD = BT = x\,\,$ και έστω , SA' = SD = h

.

Επειδή $\dfrac{{OS}}{{AA'}} = \dfrac{{TO}}{{TA}} \Rightarrow \dfrac{R}{x} = \dfrac{{x + R}}{{x + 2R}} \Rightarrow x + Rx = Rx + 2{R^2} \Rightarrow \boxed{x = R\sqrt 2 }$ .

: Ισεμβαδικότητα_new_1.png (24.96 KiB) Προβλήθηκε 394 φορές

Παρατήρηση :

Έχω ακόμα : $\left\{ \begin{gathered} {h^2} = DA \cdot DB \hfill \\ \tan \theta = \dfrac{h}{x} \hfill \\ \sin \theta = \dfrac{{\tan \theta }}{{1 + {{\tan }^2}\theta }} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \tan \theta = \sqrt {\sqrt 2 - 1} \hfill \\ \tan 2\theta = \sqrt {2\sqrt 2 + 2} \hfill \\ \sin \theta = \sqrt {\frac{{\sqrt 2 - 1}}{{\sqrt 2 }}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

μετά απ’ αυτά η σχέση που υπαινίσσεται ο $cool\,geometry\,$ δηλαδή : $\tan 2\theta = 2{\sin ^3}\theta$ γράφεται :

$\sqrt {2\sqrt 2 + 2} = 2{\left( {\sqrt {\frac{{\sqrt 2 - 1}}{{\sqrt 2 }}} } \right)^3} \Leftrightarrow \sqrt {2\sqrt 2 + 2} = \sqrt {10 - 7\sqrt 2 }$

που μας οδηγεί στην ισότητα

$9\sqrt 2 = 8$ που προφανώς είναι λάθος .

Θα πρέπει όλοι να είμαστε προσεκτικοί του τι γράφουμε γιατί μας διαβάζουν μαθητές και μάλιστα πολύ υψηλού πνευματικού και γνωστικού επιπέδου .

: του cool.png (31.76 KiB) Προβλήθηκε 394 φορές

cool geometry · #6

προφανώς έκανα λάθος από βιασύνη σε κάποια πράξη, αλλά οι πράξεις δεν είναι αυτό που μετράει, οι μαθητές κατάλαβαν τη λύση μου που είναι πολύ απλή σε σκέψη, αλλά έχει πάρα πολλές πράξεις, αυτός είναι κι ο λόγος για τον οποίο έκανα λάθος σε κάποια πράξη.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #7

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 12, 2022 12:29 pm
Ισεμβαδικότητα.png Σε σημείο ημικυκλίου διαμέτρου , φέρουμε εφαπτομένη , η οποία τέμνει την

προέκταση της στο σημείο . Το είναι η προβολή του στην εφαπτομένη .

Βρείτε την θέση του , για την οποία προκύπτει : .

Είναι, $SO//AA’\Rightarrow \dfrac{AA'}{r}= \dfrac{x+2r}{x+r}$ και

$\dfrac{(AA'S)}{(AOS)}= \dfrac{(BST)}{(AOS)} \Rightarrow \dfrac{A'Z}{ZO}= \dfrac{x}{r} \Rightarrow \dfrac{AA'}{r}= \dfrac{x}{r}$

Άρα $\dfrac{x}{r}= \dfrac{x+2r}{x+r} \Leftrightarrow x^2=2r^2 \Rightarrow x=r \sqrt{2}$

: ισεμβαδικότητα.png (219.65 KiB) Προβλήθηκε 356 φορές

Ισεμβαδικότητα

Ισεμβαδικότητα

Re: Ισεμβαδικότητα

Re: Ισεμβαδικότητα

Re: Ισεμβαδικότητα

Re: Ισεμβαδικότητα

Re: Ισεμβαδικότητα

Re: Ισεμβαδικότητα

Μέλη σε σύνδεση