Δεν υπάρχει πιο απλό πράγμα από τα εγγράψιμα.
Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis
-
- Δημοσιεύσεις: 292
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 02, 2022 7:28 am
Δεν υπάρχει πιο απλό πράγμα από τα εγγράψιμα.
Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο με περίκεντρο . Θεωρούμε ευθεία που διέρχεται από το και τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου στα σημεία (το στο εσωτερικό του ), έτσι ώστε
Αν τα μέσα των αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο και να υπολογίσετε τον λόγο
Αν τα μέσα των αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο και να υπολογίσετε τον λόγο
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Δεν υπάρχει πιο απλό πράγμα από τα εγγράψιμα.
Ας δούμε μία λύση σε ... συνέχειες!
Έστω η ακτίνα του κύκλου.
Επιλύουμε το τρίγωνο από τα δεδομένα (η χορδή , γιατί έχει αντίστοιχη εγγεγραμμένη γωνία και η , γιατί έχει αντίστοιχη εγγεγραμμένη γωνία ):
,
και βρίσκουμε , οπότε .
Στην συνέχεια, θα δείξουμε ότι, η είναι κάθετη στην , που θα δώσει . Σε συνδυασμό με την θα έχουμε το εγγράψιμο .
Οι ακτίνες είναι συζυγείς αρμονικές των ακτίνων , αφού π.χ. η είναι η πολική του . 'Εστω . Θα βρούμε την εφαπτομένη της. Έχουμε τον διπλό λόγο:
Αντικαθιστούμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς, αναπτύσσουμε το , εμφανίζoυμε την και την βρίσκουμε
Aπό εδώ, έχουμε και επειδή η είναι κάθετη στην , όπως θέλαμε.
Έστω η ακτίνα του κύκλου.
Επιλύουμε το τρίγωνο από τα δεδομένα (η χορδή , γιατί έχει αντίστοιχη εγγεγραμμένη γωνία και η , γιατί έχει αντίστοιχη εγγεγραμμένη γωνία ):
,
και βρίσκουμε , οπότε .
Στην συνέχεια, θα δείξουμε ότι, η είναι κάθετη στην , που θα δώσει . Σε συνδυασμό με την θα έχουμε το εγγράψιμο .
Οι ακτίνες είναι συζυγείς αρμονικές των ακτίνων , αφού π.χ. η είναι η πολική του . 'Εστω . Θα βρούμε την εφαπτομένη της. Έχουμε τον διπλό λόγο:
Αντικαθιστούμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς, αναπτύσσουμε το , εμφανίζoυμε την και την βρίσκουμε
Aπό εδώ, έχουμε και επειδή η είναι κάθετη στην , όπως θέλαμε.
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Δεν υπάρχει πιο απλό πράγμα από τα εγγράψιμα.
Η εγγραψιμότητα του τετραπλεύρου είναι ανεξάρτητη της γωνίας δηλαδή ισχύει το εξής γενικότερο πρόβλημα:cool geometry έγραψε: ↑Παρ Αύγ 12, 2022 7:52 amΔίνεται ισόπλευρο τρίγωνο με περίκεντρο . Θεωρούμε ευθεία που διέρχεται από το και τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου στα σημεία (το στο εσωτερικό του ), έτσι ώστε
Αν τα μέσα των αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο και να υπολογίσετε τον λόγο
Έστω ισόπλευρο τρίγωνο και τυχούσα τέμνουσα του περίκυκλου του τριγώνου (με το κέντρο του ) και μεταξύ των . Να δειχτεί ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά, όπου τα μέσα των αντίστοιχα.
Απόδειξη
Στο τρίγωνο με τα μέσα δύο πλευρών του προκύπτει ότι διέρχεται και από το μέσο της που ταυτίζεται με το σημείο τομής της με την (λόγω του ισοπλεύρου τριγώνου ) Η είναι (προφανώς) εφαπτόμενη του κύκλου ( ) και συνεπώς
Από τη σχέση σύμφωνα με το αντίστροφο του θεωρήματος των τεμνομένων χορδών προκύπτει η ομοκυκλικότητα των σημείων και το γενικότερο του πρώτου ερωτήματος έχει αποδειχθεί.
Σημείωση: Στην ειδική περίπτωση βέβαια που όπως αναφέρει το Κώστας πιο πάνω προκύπτει ότι η είναι διάμετρος του περίκυκλου του εγγραψίμου τετραπλεύρου και είναι βέβαιο ότι θα βοηθήσει στον υπολογισμό του λόγου (ή καλύτερα της έκφρασης του συναρτήσει της πλευράς του ισοπλεύρου τριγώνου ) για το οποίο ερώτημα δεν έχω (πιθανόν ακόμα) απάντηση
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
-
- Δημοσιεύσεις: 292
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 02, 2022 7:28 am
Re: Δεν υπάρχει πιο απλό πράγμα από τα εγγράψιμα.
Πάρα πολύ απλή λύση και με τη μαεστρία του Στάθη είναι πανέμορφη!!!!
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 21 επισκέπτες