Χωρίς χρήση τριγωνομετρίας

#1

: Χωρίς τριγωνομετρία.png (12.53 KiB) Προβλήθηκε 473 φορές

Να δείξετε χωρίς χρήση τριγωνομετρίας ότι, AC = BD

Φανης Θεοφανιδης · #2

: 100.png (28.54 KiB) Προβλήθηκε 375 φορές

Γράφω τον περίκυκλο του τριγώνου ABC

, του οποίου το κέντρο ονομάζω

, φέρνω τα
τμήματα OC, OA, OB

και κατασκευάζω το ισόπλευρο τρίγωνο OBE

.
Έστω $M\equiv OA\cap BC$ .
Επίσης φέρνω τα τμήματα EA, EC, EM, ED

.
Οι κόκκινες γωνίες προκύπτουν εύκολα.
Παρατηρώ ότι η

είναι μεσοκάθετος του

.
Οπότε $\angle ADE=\angle EAD\Rightarrow \angle ADE=42^{0}\Rightarrow \angle BED=36^{0}$ .
Από τα παραπάνω έπεται ότι $BD=DE\Rightarrow BD=EA\Rightarrow BD=AC$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

Doloros έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 10, 2022 10:36 am
Χωρίς τριγωνομετρία.png
Να δείξετε χωρίς χρήση τριγωνομετρίας ότι,

Μια λύση που βρήκα εκτός φακέλλου

Θεωρούμε τον περίκυκλο του $\triangle ABD$ τον οποίο η παράλληλη από το

προς την

τέμνει στο

οπότε

άρα είναι αρκετό να αποδείξουμε ότι KA=AC

Αν η

τέμνει την μεσοκάθετο της

στο

,επειδή $\angle DZM= \angle MZC= \angle CZA=60^0$ και

$\angle ZAE= 30^0$ προφανώς η

είναι μεσοκάθετη της

,συνεπώς $\angle ACZ= \angle ZCE= \angle EAZ=18^0$

και η

εφάπτεται του κύκλου (A,B,D)

άρα

οπότε και η

εφάπτεται του κύκλου (K,A,C)

συνεπώς $\angle AKC= 36^0$ κι επειδή $\angle EAC= 72^0$ θα είναι KA=AC

και

το ζητούμενο αποδείχτηκε

: ισότητα.png (56.4 KiB) Προβλήθηκε 355 φορές

Ιστοσελίδα · #4

Doloros έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 10, 2022 10:36 am

Να δείξετε χωρίς χρήση τριγωνομετρίας ότι,

: 2022-08-11_15-56-25.jpg (83.73 KiB) Προβλήθηκε 291 φορές

Κατασκευάζω το ισοσκελές $ABE({144^ \circ }{,18^ \circ }{,18^ \circ })$ και έστω

το συμμετρικό του

ως προς

Σχηματίζω τον περίκυκλο (O)

του

και εμφανίζεται το ισόπλευρο OAC

και το ισοσκελές $OAD({96^ \circ }{,42^ \circ }{,42^ \circ })$

Τα τρίγωνα ACE,AOB'

είναι ίσα από $\Pi - \Gamma - \Pi$ , οπότε, μετά από κυνήγι γωνιών, καταλήγουμε στο ισοσκελές $DOB'({108^ \circ }{,36^ \circ }{,36^ \circ })$ άρα και στο ζητούμενο.

Χωρίς χρήση τριγωνομετρίας

Χωρίς χρήση τριγωνομετρίας

Re: Χωρίς χρήση τριγωνομετρίας

Re: Χωρίς χρήση τριγωνομετρίας

Re: Χωρίς χρήση τριγωνομετρίας

Μέλη σε σύνδεση