Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 20
Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis
Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 20
που το ένα απ’ αυτά είναι μέσο του ευθυγράμμου τμήματος των δύο άλλων.
Λέξεις Κλειδιά:
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 20
Έστω τα σημεία τομής της εκ του καθέτου στην διάμεσο με τις ευθείες των υψών αντίστοιχα και ας είναι το συμμετρικό του ως προς το μέσο της .
Τότε από το παραλληλόγραμμο (οι διαγώνιες διχοτομούνται) θα είναι εγγράψιμο σε κύκλο. Με ακριβώς όμοιο τρόπο προκύπτει ότι είναι εγγράψιμο σε κύκλο. Έτσι έχουμε: ισοσκελές το μέσο της . Με το ορθόκεντρο του τρίγωνου και (κάθετες στην ίδια ευθεία ) από το θεώρημα της κεντρικής δέσμης (με κέντρο το ) προκύπτει ότι και το μέσο της και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 20
Έστω το σημείο και έχουμε ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο έστω με διάμετρο την πλευρά του δοσμένου τριγώνου .
Η ευθεία ταυτίζεται με την Πολική ευθεία του σημείου ως προς τον κύκλο γιατί περνάει από το σημείο = ορθόκεντρο του και είναι κάθετη επί την ευθεία που συνδέει του σημείο με το κέντρο του κύκλου και επομένως έχουμε ότι η σημειοσειρά είναι αρμονική, οπότε και η δέσμη είναι αρμονική. Επειδή τώρα, η ως άνω Πολική ευθεία περνάει από το σημείο προκύπτει ότι η Πολική ευθεία του σημείου ως προς τον κύκλο η οποία ταυτίζεται με την ευθεία γιατί συνδέει το σημείο με το σημείο είναι κάθετη επί την ευθεία .
Ισχύει δηλαδή,
Από την αρμονική δέσμη τέλος, λόγω της συμπεραίνεται ότι και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
Η ευθεία ταυτίζεται με την Πολική ευθεία του σημείου ως προς τον κύκλο γιατί περνάει από το σημείο = ορθόκεντρο του και είναι κάθετη επί την ευθεία που συνδέει του σημείο με το κέντρο του κύκλου και επομένως έχουμε ότι η σημειοσειρά είναι αρμονική, οπότε και η δέσμη είναι αρμονική. Επειδή τώρα, η ως άνω Πολική ευθεία περνάει από το σημείο προκύπτει ότι η Πολική ευθεία του σημείου ως προς τον κύκλο η οποία ταυτίζεται με την ευθεία γιατί συνδέει το σημείο με το σημείο είναι κάθετη επί την ευθεία .
Ισχύει δηλαδή,
Από την αρμονική δέσμη τέλος, λόγω της συμπεραίνεται ότι και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
-
- Δημοσιεύσεις: 233
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 20
Έστω το συμμετρικό του ως προς το μέσο της πλευράς ,
το ορθόκεντρο του , και .
Εφόσον, , και , τότε .
Επίσης, , και , οπότε . Αλλά .
Ως εκ τούτου, .
Από , , προκύπτει ότι .
Επίσης, το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο (),
οπότε . Όμως στο τρίγωνο η διάμεσος, οπότε και
στο όμοιό του τρίγωνο , η που είναι ομόλογος της , θα είναι διάμεσος.
το ορθόκεντρο του , και .
Εφόσον, , και , τότε .
Επίσης, , και , οπότε . Αλλά .
Ως εκ τούτου, .
Από , , προκύπτει ότι .
Επίσης, το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο (),
οπότε . Όμως στο τρίγωνο η διάμεσος, οπότε και
στο όμοιό του τρίγωνο , η που είναι ομόλογος της , θα είναι διάμεσος.
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 20
Καλημέρα σε όλους! Παραλλαγή με χρήση του σχήματος
Έστω το ορθόκεντρο του τριγώνου
Τα τρίγωνα και είναι όμοια αφού και
άρα . Με ίδιο τρόπο και τα είναι όμοια οπότε
Από και παίρνουμε δηλ. το ζητούμενο.
Με εκτίμηση-θαυμασμό προς τους ως άνω συμμετέχοντες στο παρόν θέμα ..Φιλικά, Γιώργος.
Τα τρίγωνα και είναι όμοια αφού και
άρα . Με ίδιο τρόπο και τα είναι όμοια οπότε
Από και παίρνουμε δηλ. το ζητούμενο.
Με εκτίμηση-θαυμασμό προς τους ως άνω συμμετέχοντες στο παρόν θέμα ..Φιλικά, Γιώργος.
-
- Δημοσιεύσεις: 2770
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Re: Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 20
Κατασκευάζουμε τα τετράγωνα πλευράς και εξωτερικά του τριγώνου
Είναι γνωστό ότι το ύψος του τριγώνου είναι διάμεσος του τριγώνου και η διάμεσος ύψος του
Έτσι κι από θ.κ δέσμης θα είναι
Είναι όμως κι αν ορθόκεντρο του τριγώνου έχουμε
και από τις οποίες παίρνουμε άρα και
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 17 επισκέπτες