Το τετράγωνο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

cool geometry
Δημοσιεύσεις: 112
Εγγραφή: Τρί Αύγ 02, 2022 7:28 am

Το τετράγωνο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cool geometry » Παρ Αύγ 05, 2022 10:22 am

Έστω τετράγωνο ABCD και (O,R) ο εγγεγραμμένος κύκλος στο τετράγωνο, ο οποίος εφάπτεται στις πλευρές AB,AD στα σημεία E,Z αντίστοιχα. Έστω ακόμα H το σημείο τομής του εγγεγραμμένου κύκλου με τη διαγώνιο BD και EF η κάθετη στην πλευρά HZ(F\in HZ). Να αποδείξετε ότι \widehat{EAF}=22,5^{0}.
τελευταία επεξεργασία από cool geometry σε Παρ Αύγ 05, 2022 6:04 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8695
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Το τετράγωνο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Αύγ 05, 2022 12:42 pm

cool geometry έγραψε:
Παρ Αύγ 05, 2022 10:22 am
Έστω τετράγωνο ABCD και (O,R) ο εγγεγραμμένος κύκλος στο τετράγωνο, ο οποίος εφάπτεται στις πλευρές AB,AD στα σημεία E,Z αντίστοιχα. Έστω ακόμα H το σημείο τομής του εγγεγραμμένου κύκλου με τη διαγώνιο BD και EF η κάθετη στην HZ(F\in HZ). Να αποδείξετε ότι \widehat{EAF}=22,5^{0}.
Το τετράγωνο.png
Το τετράγωνο.png (27.09 KiB) Προβλήθηκε 166 φορές
Το τετράπλευρο OZEB έχει OZ// = EB άρα είναι παραλληλόγραμμο , οπότε \widehat {{\omega _1}} = \widehat {{\theta _{}}}.

Αλλά \widehat {{\omega _{}}} = \widehat {{\omega _1}} ως παρά τη βάση του ισοσκελούς τριγώνου OZH, συνεπώς \widehat {{\omega _{}}} = \widehat {{\theta _{}}} = 22,5^\circ .

Από το εγγράψιμο τετράπλευρο ZAEF είναι \widehat {{x_{}}} = \widehat {{\theta _{}}} \Rightarrow \boxed{\widehat {{x_{}}} = 22,5^\circ }


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2266
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Το τετράγωνο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Παρ Αύγ 05, 2022 12:53 pm

cool geometry έγραψε:
Παρ Αύγ 05, 2022 10:22 am
Έστω τετράγωνο ABCD και (O,R) ο εγγεγραμμένος κύκλος στο τετράγωνο, ο οποίος εφάπτεται στις πλευρές AB,AD στα σημεία E,Z αντίστοιχα. Έστω ακόμα H το σημείο τομής του εγγεγραμμένου κύκλου με τη διαγώνιο BD και EF η κάθετη στην HZ(F\in HZ). Να αποδείξετε ότι \widehat{EAF}=22,5^{0}.
Το τρίγωνο OZH έιναι ισοσκελές γιατί OZ=OH=R,

\hat{ZOH}=90+45=135^{0},

     \hat{HZO}=22,5^{0},

Τo τετράπλευρο AEFZ ,είναι εγγράψιμο ,

αρα 45+\hat{OAF}=45+\hat{OEF} \Leftrightarrow \hat{OAF}=\hat{OEF} =

To τετράπλευρο AFOZ, είναι εγγράψιμο αφού

\hat{AZE}=45=\hat{AFE},

    \hat{AFZ}=45=\hat{AOZ}

Συνεπώς \hat{FZO}=22,5^{0}=\hat{OAF}\Rightarrow \hat{FAE}=22,5^{0}

ΥΓ. Η διαγώνιος BD και ο κύκλος εχουν δυο σημεία τομής . Εδω πρέπει ο θεματοδότης να διευκρινίσει πιο απο τα δύο εννοεί δηλαδή αν παρουμε το σημείο H1εχουμε άλλα αποτελεσματα για τη γωνια
Συνημμένα
To τετράγωνο.png
To τετράγωνο.png (28.35 KiB) Προβλήθηκε 162 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
cool geometry
Δημοσιεύσεις: 112
Εγγραφή: Τρί Αύγ 02, 2022 7:28 am

Re: Το τετράγωνο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cool geometry » Παρ Αύγ 05, 2022 1:13 pm

\widehat{EZH1}=112,5^{0}, άρα η κάθετη από το E στην H1Z δεν θα την τιμήσει, έτσι αυτή η περίπτωση απορρίπτεται.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2320
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Το τετράγωνο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Παρ Αύγ 05, 2022 1:50 pm

cool geometry έγραψε:
Παρ Αύγ 05, 2022 10:22 am
Έστω τετράγωνο ABCD και (O,R) ο εγγεγραμμένος κύκλος στο τετράγωνο, ο οποίος εφάπτεται στις πλευρές AB,AD στα σημεία E,Z αντίστοιχα. Έστω ακόμα H το σημείο τομής του εγγεγραμμένου κύκλου με τη διαγώνιο BD και EF η κάθετη στην HZ(F\in HZ). Να αποδείξετε ότι \widehat{EAF}=22,5^{0}.
AEFZ εγγράψιμμο και  \angle EOB=2 \angle EZH (Σχέση επίκεντρης-εγγεγραμμένης).Άρα 2x=45^0\Rightarrow x=22.5^0
τετράγωνο.png
τετράγωνο.png (13.58 KiB) Προβλήθηκε 130 φορές


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4482
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Βρυξέλλες

Re: Το τετράγωνο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Παρ Αύγ 05, 2022 1:54 pm

Μιχάλης Τσουρακάκης έγραψε:
Παρ Αύγ 05, 2022 1:50 pm
cool geometry έγραψε:
Παρ Αύγ 05, 2022 10:22 am
Έστω τετράγωνο ABCD και (O,R) ο εγγεγραμμένος κύκλος στο τετράγωνο, ο οποίος εφάπτεται στις πλευρές AB,AD στα σημεία E,Z αντίστοιχα. Έστω ακόμα H το σημείο τομής του εγγεγραμμένου κύκλου με τη διαγώνιο BD και EF η κάθετη στην HZ(F\in HZ). Να αποδείξετε ότι \widehat{EAF}=22,5^{0}.
AEFZ εγγράψιμμο και  \angle EOB=2 \angle EZH (Σχέση επίκεντρης-εγγεγραμμένης).Άρα 2x=45^0\Rightarrow x=22.5^0

τετράγωνο.png
:coolspeak:


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8695
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Το τετράγωνο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Αύγ 05, 2022 2:49 pm

cool geometry έγραψε:
Παρ Αύγ 05, 2022 1:13 pm
\widehat{EZH1}=112,5^{0}, άρα η κάθετη από το E στην H1Z δεν θα την τιμήσει, έτσι αυτή η περίπτωση απορρίπτεται.


Σε παρακαλώ δές τα προσωπικά σου μηνύματα.


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2266
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Το τετράγωνο

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Παρ Αύγ 05, 2022 4:42 pm

cool geometry έγραψε:
Παρ Αύγ 05, 2022 1:13 pm
\widehat{EZH1}=112,5^{0}, άρα η κάθετη από το E στην H1Z δεν θα την τιμήσει, έτσι αυτή η περίπτωση απορρίπτεται.
Κοίταξε τα προσωπικά μηνύματα


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης