Οι κύκλοι

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

cool geometry
Δημοσιεύσεις: 112
Εγγραφή: Τρί Αύγ 02, 2022 7:28 am

Οι κύκλοι

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cool geometry » Πέμ Αύγ 04, 2022 10:48 am

1) Δύο κύκλοι (O,R), (A,p) με p< R εφάπτονται εσωτερικά στο σημείο B. Μία χορδή CD του κύκλου (O,R) εφάπτεται στον κύκλο (A,p) στο σημείο E. Να αποδείξετε ότι η BE διχοτομεί τη γωνία \widehat{DBC}..
2) Δύο κύκλοι (O,R),(K,p) τέμνονται στα σημεία A,B. Ο κύκλος (K,p) διέρχεται από το O. Έστω AC μία χορδή του κύκλου (O,R), η οποία τέμνει τον κύκλο (K,p) στο σημείο D. Να αποδείξετε ότι BD=CD.



Λέξεις Κλειδιά:
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2266
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Οι κύκλοι

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Πέμ Αύγ 04, 2022 4:38 pm

cool geometry έγραψε:
Πέμ Αύγ 04, 2022 10:48 am
1) Δύο κύκλοι (O,R), (A,p) με p< R εφάπτονται εσωτερικά στο σημείο B. Μία χορδή CD του κύκλου (O,R) εφάπτεται στον κύκλο (A,p) στο σημείο E. Να αποδείξετε ότι η BE διχοτομεί τη γωνία \widehat{DBC}..
2) Δύο κύκλοι (O,R),(K,p) τέμνονται στα σημεία A,B. Ο κύκλος (K,p) διέρχεται από το O. Έστω AC μία χορδή του κύκλου (O,R), η οποία τέμνει τον κύκλο (K,p) στο σημείο D. Να αποδείξετε ότι BD=CD.
Για το δεύτερο ερώτημα

Απο το θεώρημα τεμνόμενων χορδών CDA,CLB,CD.CA=CL.CB,(**),

Τα τρίγωνα DCB,CLA είναι όμοια γιατί \hat{CAL}=\hat{DBC} λόγω εγγεγραμμένου

τετραπλευρου ADLB,

\hat{CDL}=\hat{LBA}=\theta , 
 
\hat{LDB}=\hat{LAB}=\rho ,\hat{DAL}=\hat{DBL}=\nu ,\hat{CDB}=CLA Οποτε απο την ομοιότητα είναι

DB.AC=CL.CB(*), 
 
 (*),(**)\Rightarrow CD=DB

Η λύση για το πρώτο ερώτημα ,αργότερα ,εκτός και αν απαντηθεί

Η λύση για το πρώτο ερώτημα

Στο κύκλο (A)

\hat{\hat{DEN}}=\hat{EBN}=\omega=\hat{ELN},\hat{CEL}=\hat{EBL}=\phi =\hat{ENL},

     \hat{DB\epsilon }=\hat{NEB}=\hat{NLB},

Στα τρίγωνα

DEN,DCB,\hat{D}=180-\omega -(\omega +\theta )=

        180-\theta -\omega -\phi \Rightarrow \omega =\phi
Συνημμένα
Oι κύκλοι  πρώτο ερώτημα.png
Oι κύκλοι πρώτο ερώτημα.png (20.87 KiB) Προβλήθηκε 87 φορές
Οι κύκλοι.png
Οι κύκλοι.png (19.54 KiB) Προβλήθηκε 121 φορές
τελευταία επεξεργασία από STOPJOHN σε Πέμ Αύγ 04, 2022 7:57 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
cool geometry
Δημοσιεύσεις: 112
Εγγραφή: Τρί Αύγ 02, 2022 7:28 am

Re: Οι κύκλοι

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cool geometry » Πέμ Αύγ 04, 2022 5:11 pm

:clap2:
Εγώ είχα κατά νου την παρακάτω λύση:
Από το εγγράψιμο ABOD είναι: \widehat{ODB}=\widehat{OAB}(1) και \widehat{ODC}=\widehat{OBA}(2)
Όμως από το ισοσκελές AOB είναι: \widehat{OAB}=\widehat{OBA}(3)
(1),(2),(3)\Rightarrow \widehat{ODB}=\widehat{ODC}
Τώρα τα τρίγωνα COD, DOB έχουν OC=OB, \widehat{ODB}=\widehat{ODC}, AD κοινή, άρα είναι ίσα με άμεση συνέπεια BD=CD..


cool geometry
Δημοσιεύσεις: 112
Εγγραφή: Τρί Αύγ 02, 2022 7:28 am

Re: Οι κύκλοι

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cool geometry » Παρ Αύγ 05, 2022 8:15 am

Ευχαριστώ, μπράβο για τις ωραίες λύσεις!!!
Η δική μου λύση για το Α) έχει ως εξής:
Λόγω εφαπτομένης, θα είναι \widehat{AED}=90^{0}(1)
Οι κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά, άρα O,A,B συνευθειακά , οπότε \widehat{OBC}=\widehat{ABC}=90^{0}-\widehat{BDC}\Rightarrow \widehat{ABD}=\widehat{DBC}-(90^{0}-\widehat{BDC})(2)
Στο τετράπλευρο ABDE είναι: \widehat{AED}+\widehat{ABD}+\widehat{BDE}=90^{0}+[\widehat{DBC}-(90^{0}-\widehat{BDC}]+\widehat{BDC}=\widehat{DBC}+2\widehat{BDC}\Rightarrow \widehat{BAE}=360^{0}-(\widehat{DBC}+2\widehat{BDC})\Rightarrow \widehat{ABE}=\frac{\widehat{DBC}}{2}+\widehat{BDC}-90^{0}(3)
\widehat{CBE}=(90^{0}-\widehat{BDC})+(\frac{\widehat{DBC}}{2}+\widehat{BDC}-90^{0})=\frac{\widehat{DBC}}{2} και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης