Οι κύκλοι

cool geometry · #1

1) Δύο κύκλοι (O,R), (A,p)

με

εφάπτονται εσωτερικά στο σημείο

. Μία χορδή

του κύκλου (O,R)

εφάπτεται στον κύκλο (A,p)

στο σημείο

. Να αποδείξετε ότι η

διχοτομεί τη γωνία $\widehat{DBC}.$ .
2) Δύο κύκλοι (O,R),(K,p)

τέμνονται στα σημεία A,B

. Ο κύκλος (K,p)

διέρχεται από το

. Έστω

μία χορδή του κύκλου (O,R)

, η οποία τέμνει τον κύκλο (K,p)

στο σημείο

. Να αποδείξετε ότι BD=CD.

STOPJOHN · #2

cool geometry έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 04, 2022 10:48 am
1) Δύο κύκλοι με εφάπτονται εσωτερικά στο σημείο . Μία χορδή του κύκλου εφάπτεται στον κύκλο στο σημείο . Να αποδείξετε ότι η διχοτομεί τη γωνία $\widehat{DBC}.$ .
2) Δύο κύκλοι τέμνονται στα σημεία . Ο κύκλος διέρχεται από το . Έστω μία χορδή του κύκλου , η οποία τέμνει τον κύκλο στο σημείο . Να αποδείξετε ότι

Για το δεύτερο ερώτημα

Απο το θεώρημα τεμνόμενων χορδών CDA,CLB,CD.CA=CL.CB,(**),

Τα τρίγωνα DCB,CLA

είναι όμοια γιατί $\hat{CAL}=\hat{DBC}$ λόγω εγγεγραμμένου

τετραπλευρου ADLB

,

$\hat{CDL}=\hat{LBA}=\theta , \hat{LDB}=\hat{LAB}=\rho ,\hat{DAL}=\hat{DBL}=\nu ,\hat{CDB}=CLA$ Οποτε απο την ομοιότητα είναι

$DB.AC=CL.CB(*), (*),(**)\Rightarrow CD=DB$

Η λύση για το πρώτο ερώτημα ,αργότερα ,εκτός και αν απαντηθεί

Η λύση για το πρώτο ερώτημα

Στο κύκλο (A)

$\hat{\hat{DEN}}=\hat{EBN}=\omega=\hat{ELN},\hat{CEL}=\hat{EBL}=\phi =\hat{ENL}, \hat{DB\epsilon }=\hat{NEB}=\hat{NLB},$

Στα τρίγωνα

$DEN,DCB,\hat{D}=180-\omega -(\omega +\theta )= 180-\theta -\omega -\phi \Rightarrow \omega =\phi$

cool geometry · #3

Εγώ είχα κατά νου την παρακάτω λύση:
Από το εγγράψιμο ABOD

είναι: $\widehat{ODB}=\widehat{OAB}(1)$ και $\widehat{ODC}=\widehat{OBA}(2)$
Όμως από το ισοσκελές AOB

είναι: $\widehat{OAB}=\widehat{OBA}(3)$
$(1),(2),(3)\Rightarrow \widehat{ODB}=\widehat{ODC}$
Τώρα τα τρίγωνα COD, DOB

έχουν $OC=OB, \widehat{ODB}=\widehat{ODC}, AD$ κοινή, άρα είναι ίσα με άμεση συνέπεια BD=CD.

.

cool geometry · #4

Ευχαριστώ, μπράβο για τις ωραίες λύσεις!!!
Η δική μου λύση για το Α) έχει ως εξής:
Λόγω εφαπτομένης, θα είναι $\widehat{AED}=90^{0}(1)$
Οι κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά, άρα O,A,B

συνευθειακά , οπότε $\widehat{OBC}=\widehat{ABC}=90^{0}-\widehat{BDC}\Rightarrow \widehat{ABD}=\widehat{DBC}-(90^{0}-\widehat{BDC})(2)$
Στο τετράπλευρο ABDE

είναι: $\widehat{AED}+\widehat{ABD}+\widehat{BDE}=90^{0}+[\widehat{DBC}-(90^{0}-\widehat{BDC}]+\widehat{BDC}=\widehat{DBC}+2\widehat{BDC}\Rightarrow \widehat{BAE}=360^{0}-(\widehat{DBC}+2\widehat{BDC})\Rightarrow \widehat{ABE}=\frac{\widehat{DBC}}{2}+\widehat{BDC}-90^{0}(3)$
$\widehat{CBE}=(90^{0}-\widehat{BDC})+(\frac{\widehat{DBC}}{2}+\widehat{BDC}-90^{0})=\frac{\widehat{DBC}}{2}$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Οι κύκλοι

Οι κύκλοι

Re: Οι κύκλοι

Re: Οι κύκλοι

Re: Οι κύκλοι

Μέλη σε σύνδεση