Το τρίγωνο

cool geometry · #1

Έστω τρίγωνο ABC

με $\widehat{A}=60^{0}, \widehat{B}=45^{0}$ και το περίκεντρό του

. Έστω ακόμα ένα σημείο

επί της

, τέτοιο ώστε BD=2DC.

. Να υπολογίσετε:
i)Τη γωνία $\widehat{AOD}$
ii) Τη γωνία $\widehat{ADO}$
iii) Τον λόγο $\frac{(AOD)}{(ABC)}$

#2

cool geometry έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 04, 2022 8:29 am
Έστω τρίγωνο με $\widehat{A}=60^{0}, \widehat{B}=45^{0}$ και το περίκεντρό του . Έστω ακόμα ένα σημείο επί της , τέτοιο ώστε . Να υπολογίσετε:
i)Τη γωνία $\widehat{AOD}$
ii) Τη γωνία $\widehat{ADO}$
iii) Τον λόγο $\frac{(AOD)}{(ABC)}$

α)Η πλευρά $BC = {\lambda _3} = R\sqrt 3$ . Θέτω για ευκολία πράξεων BC = 6k

και άρα $R = 2k\sqrt 3$ κι επειδή $AC = {\lambda _4} = R\sqrt 2 \Rightarrow AC = 2k\sqrt 6$ .

Ας είναι τώρα

το μέσο του

και

το σημείο τομής της ευθείας

με τη

. Προφανώς , $BZ = ZD = DC = 2k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ZM = MD = k$ .

Το

είναι το απόστημα ${a_6} = \dfrac{R}{2} = k\sqrt 3$ . Από το Π. Θ. στο $\vartriangle MOD$ έχω ότι το $\vartriangle OZD$ είναι ισόπλευρο πλευράς ZD = 2k

. Άμεση συνέπεια: $\boxed{\widehat {DOA} = 120^\circ }$ .

β ) Θ συνημίτονου στο $\vartriangle ADC$ , $A{D^2} = A{C^2} + D{C^2} - 2AC \cdot DC \cdot \cos 75^\circ$ και άρα :

$AD = 2k\sqrt {4 + \sqrt 3 }$ . Πάλι στο ίδιο τρίγωνο με το ίδιο θεώρημα κι έχω : $\cos \omega = \sqrt {\dfrac{{11}}{{26}} - \dfrac{{3\sqrt 3 }}{{13}}}$ και άρα , $\sin \omega = \sqrt {\dfrac{{3\sqrt 3 }}{{13}} + \dfrac{{15}}{{26}}}$ .

: Το τρίγωνο.png (36.43 KiB) Προβλήθηκε 325 φορές

Επειδή $\theta + \omega = 120^\circ$ προκύπτει : $\boxed{\cos \theta = \cos (120^\circ - \omega ) = \sqrt {\dfrac{{9\sqrt 3 }}{{52}} + \dfrac{4}{{13}}} }$

γ) $\left( {ABC} \right) = 3\left( {AZD} \right) = 3 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 2k\left( {1 + \sqrt 3 } \right) \cdot 2k \cdot \sin 60^\circ = 3{k^2}\left( {3 + \sqrt 3 } \right)$ .

Ενώ $\left( {AOD} \right) = \left( {AZD} \right) = \left( {OZD} \right) = 3{k^2}$ . Συνεπώς : $\boxed{\dfrac{{\left( {AOD} \right)}}{{\left( {ABC} \right)}} = \dfrac{1}{{3 + \sqrt 3 }}}$ .

Το ερώτημα αυτό προκύπτει και με πολλούς άλλους τρόπους .

cool geometry · #3

Στο β ερώτημα καλύτερα θα ήταν να γράψω: '' Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας $\widehat{ADO}$ ''

Το τρίγωνο

Το τρίγωνο

Re: Το τρίγωνο

Re: Το τρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση