Το τρίγωνο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

cool geometry
Δημοσιεύσεις: 112
Εγγραφή: Τρί Αύγ 02, 2022 7:28 am

Το τρίγωνο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cool geometry » Πέμ Αύγ 04, 2022 8:29 am

Έστω τρίγωνο ABC με \widehat{A}=60^{0}, \widehat{B}=45^{0} και το περίκεντρό του O. Έστω ακόμα ένα σημείο D επί της BC, τέτοιο ώστε BD=2DC.. Να υπολογίσετε:
i)Τη γωνία \widehat{AOD}
ii) Τη γωνία \widehat{ADO}
iii) Τον λόγο \frac{(AOD)}{(ABC)}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8695
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Το τρίγωνο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Αύγ 05, 2022 1:28 am

cool geometry έγραψε:
Πέμ Αύγ 04, 2022 8:29 am
Έστω τρίγωνο ABC με \widehat{A}=60^{0}, \widehat{B}=45^{0} και το περίκεντρό του O. Έστω ακόμα ένα σημείο D επί της BC, τέτοιο ώστε BD=2DC.. Να υπολογίσετε:
i)Τη γωνία \widehat{AOD}
ii) Τη γωνία \widehat{ADO}
iii) Τον λόγο \frac{(AOD)}{(ABC)}
α)Η πλευρά BC = {\lambda _3} = R\sqrt 3 . Θέτω για ευκολία πράξεων BC = 6k και άρα R = 2k\sqrt 3 κι επειδή AC = {\lambda _4} = R\sqrt 2  \Rightarrow AC = 2k\sqrt 6 .

Ας είναι τώρα M το μέσο του BC και Z το σημείο τομής της ευθείας AO με τη BC. Προφανώς , BZ = ZD = DC = 2k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ZM = MD = k.

Το OM είναι το απόστημα {a_6} = \dfrac{R}{2} = k\sqrt 3 . Από το Π. Θ. στο \vartriangle MOD έχω ότι το \vartriangle OZD είναι ισόπλευρο πλευράς ZD = 2k. Άμεση συνέπεια: \boxed{\widehat {DOA} = 120^\circ }.

β ) Θ συνημίτονου στο \vartriangle ADC, A{D^2} = A{C^2} + D{C^2} - 2AC \cdot DC \cdot \cos 75^\circ και άρα :

AD = 2k\sqrt {4 + \sqrt 3 } . Πάλι στο ίδιο τρίγωνο με το ίδιο θεώρημα κι έχω : \cos \omega  = \sqrt {\dfrac{{11}}{{26}} - \dfrac{{3\sqrt 3 }}{{13}}} και άρα , \sin \omega  = \sqrt {\dfrac{{3\sqrt 3 }}{{13}} + \dfrac{{15}}{{26}}} .
Το τρίγωνο.png
Το τρίγωνο.png (36.43 KiB) Προβλήθηκε 124 φορές
Επειδή \theta  + \omega  = 120^\circ προκύπτει : \boxed{\cos \theta  = \cos (120^\circ  - \omega ) = \sqrt {\dfrac{{9\sqrt 3 }}{{52}} + \dfrac{4}{{13}}} }

γ) \left( {ABC} \right) = 3\left( {AZD} \right) = 3 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 2k\left( {1 + \sqrt 3 } \right) \cdot 2k \cdot \sin 60^\circ  = 3{k^2}\left( {3 + \sqrt 3 } \right).

Ενώ \left( {AOD} \right) = \left( {AZD} \right) = \left( {OZD} \right) = 3{k^2}. Συνεπώς : \boxed{\dfrac{{\left( {AOD} \right)}}{{\left( {ABC} \right)}} = \dfrac{1}{{3 + \sqrt 3 }}}.

Το ερώτημα αυτό προκύπτει και με πολλούς άλλους τρόπους .


cool geometry
Δημοσιεύσεις: 112
Εγγραφή: Τρί Αύγ 02, 2022 7:28 am

Re: Το τρίγωνο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cool geometry » Παρ Αύγ 05, 2022 3:17 pm

Στο β ερώτημα καλύτερα θα ήταν να γράψω: '' Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας \widehat{ADO}''


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης