Συνευθειακότητα και ορθότητα
Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis
Συνευθειακότητα και ορθότητα
. Η τέμνει τον μικρό κύκλο στα σημεία , ενώ οι , τέμνουν τον μεγάλο
κύκλο , στα σημεία . α) Δείξτε ότι τα σημεία , είναι συνευθειακά .
β) Αν : , υπολογίστε τον λόγο : , ώστε η γωνία να είναι ορθή .
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Συνευθειακότητα και ορθότητα
Για να μην είναι «βαρύ» το σχήμα, κρύβω το μικρό κύκλο και την υποτείνουσα .KARKAR έγραψε: ↑Κυρ Ιούλ 31, 2022 1:23 pmΣυνευθειακότητα και ορθότητα.pngΜε κέντρο το μέσο της πλευράς , ορθογωνίου τριγώνου , γράφουμε τους κύκλους : και :
. Η τέμνει τον μικρό κύκλο στα σημεία , ενώ οι , τέμνουν τον μεγάλο
κύκλο , στα σημεία . α) Δείξτε ότι τα σημεία , είναι συνευθειακά .
β) Αν : , υπολογίστε τον λόγο : , ώστε η γωνία να είναι ορθή .
Θεωρώ τη χορδή παράλληλη στην . Το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο ,
γιατί η μεσοκάθετος της ( στο ) είναι και μεσοκάθετος στην ( λόγω αποστήματος).
Συνεπώς η είναι μεσοκάθετος στην κα άρα το είναι εφαπτόμενο τμήμα στον .
Διαδοχικά έχω : ( χορδής κι εφαπτομένης) , . Έτσι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμμο, συνεπώς : χορδής κι εφαπτομένης και για ίδιο λόγο , .
Μα τώρα και το τετράπλευρο : είναι εγγράψιμο.
Από το εγγράψιμο έχω: , από το ισοσκελές τραπέζιο είναι , ( από το εγγράψιμο )
Λόγω του Ευκλειδείου αιτήματος , οι ευθείες ταυτίζονται. Για το άλλο ερώτημα αργότερα .
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Συνευθειακότητα και ορθότητα
Νίκο, στο σχήμα σουDoloros έγραψε: ↑Κυρ Ιούλ 31, 2022 10:36 pmΓια να μην είναι «βαρύ» το σχήμα, κρύβω το μικρό κύκλο και την υποτείνουσα .KARKAR έγραψε: ↑Κυρ Ιούλ 31, 2022 1:23 pmΣυνευθειακότητα και ορθότητα.pngΜε κέντρο το μέσο της πλευράς , ορθογωνίου τριγώνου , γράφουμε τους κύκλους : και :
. Η τέμνει τον μικρό κύκλο στα σημεία , ενώ οι , τέμνουν τον μεγάλο
κύκλο , στα σημεία . α) Δείξτε ότι τα σημεία , είναι συνευθειακά .
β) Αν : , υπολογίστε τον λόγο : , ώστε η γωνία να είναι ορθή .
Θεωρώ τη χορδή παράλληλη στην . Το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο ,
γιατί η μεσοκάθετος της ( στο ) είναι και μεσοκάθετος στην ( λόγω αποστήματος).
Συνεπώς η είναι μεσοκάθετος στην κα άρα το είναι εφαπτόμενο τμήμα στον .
Διαδοχικά έχω : ( χορδής κι εφαπτομένης) , .
Συνευθειακά κι ορθότητα_a.png
Έτσι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμμο, συνεπώς : χορδής κι εφαπτομένης και για ίδιο λόγο , .
Μα τώρα και το τετράπλευρο : είναι εγγράψιμο.
Από το εγγράψιμο έχω: , από το ισοσκελές τραπέζιο είναι , ( από το εγγράψιμο )
Λόγω του Ευκλειδείου αιτήματος , οι ευθείες ταυτίζονται. Για το άλλο ερώτημα αργότερα .
Όπως όμορφα έφερες την εφαπτόμενη θα είναι: (από τη διάμετρο του κύκλου) και (από τα εφαπτομενικά τμήματα και τη διακεντρική ευθεία ) οπότε και με το μέσο της η δέσμη θα είναι αρμονική άρα το εγγεγραμμένο στον κύκλο τετράπλευρο είναι αρμονικό και συνεπώς η διαγώνιός του θα διέρχεται από τον πόλο της άλλης διαγωνίου του (δηλαδή από το σημείο τομής των εφαπτομένων στα άκρα της διαγωνίου (μια από τις πολλές ιδιότητες του αρμονικού τετραπλεύρου), δηλαδή από το
Θα σε περιμένω για το επόμενο ερώτημα . Να δώσω μόνο την απάντηση :
(Δεν είναι τραγικά δύσκολο, εφαρμογή δύο θεωρημάτων εκ των οποίο το πρώτο δεν το πολυχρησιμοποιούμε
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
-
- Δημοσιεύσεις: 292
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 02, 2022 7:28 am
-
- Δημοσιεύσεις: 2770
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Re: Συνευθειακότητα και ορθότητα
A)Ισχύει , ,συνεπώς εγγράψιμμαKARKAR έγραψε: ↑Κυρ Ιούλ 31, 2022 1:23 pmΣυνευθειακότητα και ορθότητα.pngΜε κέντρο το μέσο της πλευράς , ορθογωνίου τριγώνου , γράφουμε τους κύκλους : και :
. Η τέμνει τον μικρό κύκλο στα σημεία , ενώ οι , τέμνουν τον μεγάλο
κύκλο , στα σημεία . α) Δείξτε ότι τα σημεία , είναι συνευθειακά .
β) Αν : , υπολογίστε τον λόγο : , ώστε η γωνία να είναι ορθή .
Θα αποδείξουμε ότι εγγράψιμμο
Ισοδύναμα θα δείξουμε ότι
Το προφανώς είναι παραλ/μμο, άρα και
Είναι, και κι επειδή η αποδείχτηκε,άρα και το ζητούμενο.
Β) Επειδή και οι κύκλοι είναι ομόκεντροι ,θα είναι και το είναι ορθογώνιο
Ισχύει
Αν τότε και η προηγούμενη σχέση δίνει
με δεκτή λύση
Έτσι,
-
- Δημοσιεύσεις: 292
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 02, 2022 7:28 am
Re: Συνευθειακότητα και ορθότητα
Μετά και την ωραία, συνολική , λύση του Μιχάλη , ας δούμε συνοπτικά το 2ο ερώτημα που εκκρεμεί από μένα .KARKAR έγραψε: ↑Κυρ Ιούλ 31, 2022 1:23 pmΣυνευθειακότητα και ορθότητα.pngΜε κέντρο το μέσο της πλευράς , ορθογωνίου τριγώνου , γράφουμε τους κύκλους : και :
. Η τέμνει τον μικρό κύκλο στα σημεία , ενώ οι , τέμνουν τον μεγάλο
κύκλο , στα σημεία . α) Δείξτε ότι τα σημεία , είναι συνευθειακά .
β) Αν : , υπολογίστε τον λόγο : , ώστε η γωνία να είναι ορθή .
Αφού το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο και .
Το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο εγγεγραμμένο στον κύκλο και η είναι διάμετρος.
Επειδή θα είναι που μου εξασφαλίζει ότι τα σημεία ανήκουν στο ίδιο κύκλο και αφού η ,
η είναι διάμετρος και έτσι η είναι εφαπτομένη σ αυτό τον κύκλο .
Δηλαδή , στο η είναι εσωτερική διχοτόμος και η εξωτερική. Από την αρμονική αναλογία : .
Τώρα θα είναι: .
Παρατηρήσεις
Υπάρχουν ακόμα πολλοί τρόποι υπολογισμού του λόγου με ή χωρίς αρμονικότητα .
Πλήθος εγγραψίμων τετραπλεύρων και ισοσκελών τριγώνων και τραπεζίων.
Το 2ο ερώτημα ( ίσως και το πρώτο ως παραλλαγή άσκησης του πολυτεχνείου το έτος ) είναι κατασκευασμένο στο εργαστήριο του Θανάση;
-
- Δημοσιεύσεις: 292
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 02, 2022 7:28 am
Re: Συνευθειακότητα και ορθότητα
Νίκο, φοβερή λύση!!! και κομψότατο σχήμα.
Το πρώτο ερώτημα το έλυσα ίδια με εσένα και το δεύτερο ίδια με τον Στάθη.
Το πρώτο ερώτημα το έλυσα ίδια με εσένα και το δεύτερο ίδια με τον Στάθη.
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Συνευθειακότητα και ορθότητα
Καλημέραcool geometry έγραψε: ↑Παρ Αύγ 05, 2022 9:53 amΝίκο, φοβερή λύση!!! και κομψότατο σχήμα.
Το πρώτο ερώτημα το έλυσα ίδια με εσένα και το δεύτερο ίδια με τον Στάθη.
Καλό είναι να μας παρουσιάζεις τις λύσεις σου εδω για να τις απολαύσουμε και εμείς
Υ.Σ Εγώ δεν παρουσίασα λύση για το δεύτερο ερώτημα ( μόνο το αποτέλεσμα έδωσα )
Πως ξέρεις άραγε οτι έχουμε την ίδια λύση ;
Έχεις και μαντικές ικανότητες !!!!
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
-
- Δημοσιεύσεις: 292
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 02, 2022 7:28 am
Re: Συνευθειακότητα και ορθότητα
Η λύση μου για το Β) Ερώτημα.
Ας είναι , τότε:
Από το ορθογώνιο τρίγωνο εύκολα προκύπτει ότι:
Από το εύκολα προκύπτει ότι:
διτετράγωνη με λύση
Ας είναι , τότε:
Από το ορθογώνιο τρίγωνο εύκολα προκύπτει ότι:
Από το εύκολα προκύπτει ότι:
διτετράγωνη με λύση
-
- Δημοσιεύσεις: 292
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 02, 2022 7:28 am
Re: Συνευθειακότητα και ορθότητα
Στάθη, ίδια είχες τελικά;
Αν και δεν νομίζω, γιατί ποτέ δεν χρησιμοποιείς τριγωνομετρία (για καλό το λέω). Είμαι σίγουρος ότι η λύση σου θα μας θαμπώσει από την ομορφιά.
Αν και δεν νομίζω, γιατί ποτέ δεν χρησιμοποιείς τριγωνομετρία (για καλό το λέω). Είμαι σίγουρος ότι η λύση σου θα μας θαμπώσει από την ομορφιά.
-
- Δημοσιεύσεις: 292
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 02, 2022 7:28 am
Re: Συνευθειακότητα και ορθότητα
Στάθη, καλωσόρισες στην Ελλάδα. Μήπως μπορείς να γράψεις τη λύση σου για το δεύτερο ερώτημα; Το λέω για να δω αν είναι ίδια με τη δική μου.
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Συνευθειακότητα και ορθότητα
Προφανώς και δεν θα μπορούσαν να ειναι ίδιες οι λύςεις μας συνάδελφεcool geometry έγραψε: ↑Παρ Αύγ 05, 2022 2:59 pmΣτάθη, ίδια είχες τελικά;
Αν και δεν νομίζω, γιατί ποτέ δεν χρησιμοποιείς τριγωνομετρία (για καλό το λέω). Είμαι σίγουρος ότι η λύση σου θα μας θαμπώσει από την ομορφιά.
Η λυση μου μοιάζει με μικρές παραλλαγές με του Νίκου (Φραγκάκη ) και δεν θέλω να γράψω ξανά τα " ίδια " σχεδόν πράγματα
Απο οτι μας λες εσύ εχεις ( όχι γράφεις ) ίδιες λύσεις με κάποιους απο εμάς
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
-
- Δημοσιεύσεις: 292
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 02, 2022 7:28 am
Re: Συνευθειακότητα και ορθότητα
Γιατί λες ότι προφανώς δεν θα μπορούσαν να είναι ίδιες οι λύσεις μας;
Το ότι έχω ίδιες λύσεις δεν σημαίνει ότι θα γράψω τα ίδια, γιατί βαριέμαι να το κάνω αυτό και επιπλέον το κάνω και για λόγους μαθηματικής πολυφωνίας και το βρίσκω απόλυτα λογικό. Εσύ δεν το βρίσκεις λογικό;
Επίσης η λύση μου για το Β) είναι πιο ''ελαφριά'' από τις δικές σας, γιατί τα έκανα όλα με το σχήμα, χωρίς να κατασκευάσω κάτι επιπλέον.
Όπως έχω ξαναπεί, η λύση μου για το Α) είναι ίδια με του Νίκου, αυτός είναι και ο λόγος που δεν τη γράφω.
Το ότι έχω ίδιες λύσεις δεν σημαίνει ότι θα γράψω τα ίδια, γιατί βαριέμαι να το κάνω αυτό και επιπλέον το κάνω και για λόγους μαθηματικής πολυφωνίας και το βρίσκω απόλυτα λογικό. Εσύ δεν το βρίσκεις λογικό;
Επίσης η λύση μου για το Β) είναι πιο ''ελαφριά'' από τις δικές σας, γιατί τα έκανα όλα με το σχήμα, χωρίς να κατασκευάσω κάτι επιπλέον.
Όπως έχω ξαναπεί, η λύση μου για το Α) είναι ίδια με του Νίκου, αυτός είναι και ο λόγος που δεν τη γράφω.
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Συνευθειακότητα και ορθότητα
cool geometry έγραψε: ↑Κυρ Αύγ 07, 2022 8:58 am
...Επίσης η λύση μου για το Β) είναι πιο ''ελαφριά'' από τις δικές σας, γιατί τα έκανα όλα με το σχήμα, χωρίς να κατασκευάσω κάτι επιπλέον...
Απο οτι " ομολογείς " εχουμε πράγματι διαφορετική άποψη για τη γεωμετρία
Εγω ειμαι ερωτευμένος με τη συνθετική γεωμετρία ( μια εικόνα χίλιες λέξεις )
Αγαπώ τα σχήματα και την " επεξεργασία" τους
Μεσα σε αυτη " διαβάζω " τη διαδρομή του νου του λυτη και τη βρίσκω
Δυστυχώς μέχρι τωρα δεν εχω δει ενα σχήμα σου για να " σε διαβάσω "
Εμένα βέβαια δεν μου αρέσει η " ελαφριά " λυση χωρις σχήμα
Αγαπώ τη " Βαριά " λυση
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Re: Συνευθειακότητα και ορθότητα
Γεωμετρία Ιησουιτών , σελ 401 , Άσκηση 895 :
"Έστωσαν Μ , Ν , δύο σημεία συμμετρικά αλλήλων ως προς το κέντρο περιφερείας (Ο) και Γ τυχόν σημείο της περιφερείας .
Οι ευθείες ΓΜ ,ΓΟ , ΓΝ , τέμνουν την περιφέρεια εις τα Α , Τ , Β . Δείξατε ότι η ευθεία ΑΒ και η εφαπτομένη της περιφερείας
στο Τ , τέμνονται επί της ευθείας ΜΝ ".
Το πρώτο ερώτημα είναι παραλλαγή αυτής της άσκησης ( έχω την υποψία ότι αρκετά παλιότερα είχε ξανατεθεί στο forum).
Το δεύτερο ερώτημα είναι όντως παραγωγή του καρδιτσιώτικου εργαστηρίου
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες