S590 AΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Σας προτείνω το θέμα S590 από το τρίτο τεύχος του 2022 του Mathematical Reflections. H ημερομηνία υποβολής των λύσεων παρήλθε, συνεπώς μπορώ να το μοιραστώ μαζί σας. Το πρότεινε ο Nguyen Viet Hung, Hanoi University of Science, Vietnam.

Έστω ABC

ένα οξυγώνιο τρίγωνο και έστω

το κέντρο του κύκλου του Euler του ABC.

Aποδείξτε ότι $BE+CE\leq \sqrt{a^{2}+R^{2}}$

Eιλικρινά, γιατί το τρίγωνο πρέπει να είναι οξυγώνιο δεν το καταλαβαίνω...
Δείτε το θέμα και γράψτε για αυτό.

STOPJOHN · #2

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 16, 2022 6:41 am
Σας προτείνω το θέμα S590 από το τρίτο τεύχος του 2022 του Mathematical Reflections. H ημερομηνία υποβολής των λύσεων παρήλθε, συνεπώς μπορώ να το μοιραστώ μαζί σας. Το πρότεινε ο Nguyen Viet Hung, Hanoi University of Science, Vietnam.

Έστω ένα οξυγώνιο τρίγωνο και έστω το κέντρο του κύκλου του Euler του

Aποδείξτε ότι $BE+CE\leq \sqrt{a^{2}+R^{2}}$

Eιλικρινά, γιατί το τρίγωνο πρέπει να είναι οξυγώνιο δεν το καταλαβαίνω...
Δείτε το θέμα και γράψτε για αυτό.

Καλησπέρα

O κόκκινος κύκλος ειναι ο κύκλος του Euler

για το τρίγωνο $AB\Gamma$ Προφανώς για

την ακτίνα του περιγγεγραμμένου κύκλου και την ακτίνα του κύκλου Euler

ισχύει $R=2r_{E}$

H αποδεικτέα σχέση γράφεται $BE^{2}+EC^{2}+2BE.EC\leq a^{2}+4r^{2}_{E},(1)$
και απο το θεώρημα των διαμέσων στο τρίγωνο $EBC,BE^{2}+EC^{2}=2r^{2}_{E}+\dfrac{a^{2}}{2},(2), (1),(2)\Rightarrow BE^{2}CE^{2}\leq (\dfrac{a^{2}}{4}+r^{2}_{E})^{2},(*)$

Εστω $B\Sigma \perp MN,C\Theta \perp MN$ Προφανώς τα τρίγωνα $BM\Sigma ,MC\Theta$

είναι ίσα και απο το γενικευμένο Πυθαγόρειο Θεώρημα στα τρίγωνα $BEM,EMC, \hat{EMB}< 90^{0},BE^{2}=\dfrac{a^{2}}{4}+r^{2}_{E}-2r_{E}(M\Sigma ),(3), \hat{EMC}>90^{0}, EC^{2}=\dfrac{a^{2}}{4}+r^{2}_{E}+2r_{E}(M\Sigma ),(4), (3),(4)\Rightarrow EB^{2}.EC^{2}= (\dfrac{a^{2}}{4}+r^{2}_{E})^{2}-4r^{2}_{E}.(M\Sigma )^{2}\leq (\dfrac{a^{2}}{4}+r^{2}_{E})^{2}$

και το ίσον ισχύει όταν $M,\Theta ,\Sigma$ ταυτίζονται

ΥΓ Θα επανέλθω για τον προβληματισμό γιατί το τρίγωνο ABC

να είναι οξυγώνιο ;;; εκτός και αν απαντηθεί

#3

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 16, 2022 6:41 am
Σας προτείνω το θέμα S590 από το τρίτο τεύχος του 2022 του Mathematical Reflections. H ημερομηνία υποβολής των λύσεων παρήλθε, συνεπώς μπορώ να το μοιραστώ μαζί σας. Το πρότεινε ο Nguyen Viet Hung, Hanoi University of Science, Vietnam.

Έστω ένα οξυγώνιο τρίγωνο και έστω το κέντρο του κύκλου του Euler του

Aποδείξτε ότι $BE+CE\leq \sqrt{a^{2}+R^{2}}$

Eιλικρινά, γιατί το τρίγωνο πρέπει να είναι οξυγώνιο δεν το καταλαβαίνω...
Δείτε το θέμα και γράψτε για αυτό.

Θεώρημα διαμέσων στο BEC:

: S590 2022.png (14.15 KiB) Προβλήθηκε 424 φορές

$\displaystyle B{E^2} + C{E^2} = 2{\left( {\frac{R}{2}} \right)^2} + \frac{{{a^2}}}{2} \Leftrightarrow 2(B{E^2} + C{E^2}) = {R^2} + {a^2}$

Αλλά, $\displaystyle {(BE + CE)^2} \leqslant 2(B{E^2} + C{E^2}) = {R^2} + {a^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{BE+CE\leq \sqrt{a^{2}+R^{2}}}$

Η ισότητα ισχύει στο ισόπλευρο τρίγωνο. (Το οξυγώνιο νομίζω ότι δεν χρειάζεται).

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #4

Καλησπέρα.
Γράφω από το κινητό, θα είμαι σύντομος...
Ο Γιώργος Βισβίκης έγραψε τη λύση που σκέφτηκα μόλις είδα το θέμα.
Δεν έχω να συμπληρώσω κάτι...

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #5

: Έγγραφο1 (4).png (187.93 KiB) Προβλήθηκε 346 φορές

Παραθέτω τη λύση που δημοσίευσαν οι Mathematical Reflections. O καθένας μπορεί να βγάλει τα συμπεράσματά του...

STOPJOHN · #6

Καλησπέρα ,λέω τη γνώμη μου δεν μου αρέσει η λύση που διάβασα . Οι δικές μας λύσεις είναι πολύ καλύτερες ........

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #7

STOPJOHN έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 23, 2022 5:41 pm
Καλησπέρα ,λέω τη γνώμη μου δεν μου αρέσει η λύση που διάβασα . Οι δικές μας λύσεις είναι πολύ καλύτερες ........

Το ίδιο νομίζω κι εγώ...
Έστειλα στο περιοδικό τη λύση μου, τη λύση που έγραψε παραπάνω ο Γιώργος Βισβίκης, αλλά δεν εκτιμήθηκε ιδιαίτερα...
Έγραψα επίσης ότι δεν απαιτείται το τρίγωνο να είναι οξυγώνιο.
Το μόνο που κέρδισα ήταν η αναφορά του ονόματός μου στους λύτες.

S590 AΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

S590 AΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Re: S590 AΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Re: S590 AΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Re: S590 AΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Re: S590 AΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Re: S590 AΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Re: S590 AΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Μέλη σε σύνδεση