mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιούλ 09, 2022 7:41 pm**

: Παραλληλόγραμμο σε ημικύκλιο.png (18.25 KiB) Προβλήθηκε 578 φορές

Δίνεται ημικύκλιο κέντρου

διαμέτρου

και ένα εσωτερικό σημείο του

Ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου

EAB

εφάπτεται στις EA, EB

στα

αντίστοιχα και η

τέμνει το ημικύκλιο στα S, T

το

πιο κοντά στο

A).

Αν οι

τέμνονται στο

και οι

στο

να δείξετε ότι το EPOQ

είναι παραλληλόγραμμο.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιούλ 09, 2022 10:02 pm**

Έστω ότι οι διχοτόμοι

,

των γωνιών

και

του τριγώνου EAB

τέμνουν την ευθεία

στα σημεία

και

αντίστοιχα. Σύμφωνα με γνωστό λήμμα $BT' \bot Ax$ και $AS \bot By$ , δηλαδή, $T' \equiv T$ και $S'\equiv S$ .
Έστω ότι οι

και

τέμνουν για δεύτερη φορά το ημικύκλιο στα

και

αντίστοιχα.
Τότε τα

,

είναι τα μέσα των τόξων

,

αντίστοιχα.
Ως εκ τούτου, $\angle CAB =\frac{1}{2} \angle COB= \angle TOB\Rightarrow OT \parallel CA$ , και
$\angle DBA= \frac{1}{2} \angle DOA=\angle SOA \Rightarrow OS \parallel BD$ .
Από τις δύο παραπάνω παραλληλίες προκύπτει ότι το τετράπλευρο EPOQ

είναι παραλληλόγραμμο.

: quad_parallel.png (34.58 KiB) Προβλήθηκε 551 φορές

Λήμμα: Έστω

και

τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου ενός τριγώνου EAB

με τις πλευρές του

και

αντίστοιχα.
Αν

το σημείο τομής της διχοτόμου της γωνίας

με την ευθεία

, τότε $\angle{AT'B}=90^{\circ}$ .

mathematica.gr

Παραλληλόγραμμο σε ημικύκλιο

Παραλληλόγραμμο σε ημικύκλιο

Re: Παραλληλόγραμμο σε ημικύκλιο