Άλλη μια ορθή γωνία
Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis
-
- Δημοσιεύσεις: 233
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Άλλη μια ορθή γωνία
Ο εγγεγραμμένος κύκλος του εφάπτεται των πλευρών , , στα σημεία , , , αντίστοιχα.
Θεωρούμε σημείο στην ευθεία τέτοιο ώστε , και η τέμνει για δεύτερη φορά τον εγγεγραμμένο
κύκλο του στο σημείο . Να αποδείξετε ότι .
Θεωρούμε σημείο στην ευθεία τέτοιο ώστε , και η τέμνει για δεύτερη φορά τον εγγεγραμμένο
κύκλο του στο σημείο . Να αποδείξετε ότι .
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Άλλη μια ορθή γωνία
Καλησπέρα σας!
Μία προσέγγιση
Έστω το μέσο της . Ισχύει (ως εφαπτόμενα τμήματα) άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές.
Άρα η διάμεσος είναι και ύψος. Άρα Έτσι αρκεί να αποδείξουμε ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.
Το τετράπλευρο είναι αρμονικό. Άρα η είναι συμμετροδιάμεσος στο τρίγωνο και η διάμεσος, άρα
Επομένως .
Ακόμη, .
Άρα τα τρίγωνα και είναι όμοια, άρα (χορδής - εφαπτομένης) (από την παραλληλία) και το ζητούμενο έπεται.
Μία προσέγγιση
Έστω το μέσο της . Ισχύει (ως εφαπτόμενα τμήματα) άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές.
Άρα η διάμεσος είναι και ύψος. Άρα Έτσι αρκεί να αποδείξουμε ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.
Το τετράπλευρο είναι αρμονικό. Άρα η είναι συμμετροδιάμεσος στο τρίγωνο και η διάμεσος, άρα
Επομένως .
Ακόμη, .
Άρα τα τρίγωνα και είναι όμοια, άρα (χορδής - εφαπτομένης) (από την παραλληλία) και το ζητούμενο έπεται.
Ματθαίος Κουκλέρης
-
- Δημοσιεύσεις: 2776
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Re: Άλλη μια ορθή γωνία
Η διάμετρος τέμνει την στο και προφανώς ομοκυκλικάgiannimani έγραψε: ↑Τετ Ιούλ 06, 2022 10:37 amΟ εγγεγραμμένος κύκλος του εφάπτεται των πλευρών , , στα σημεία , , , αντίστοιχα.
Θεωρούμε σημείο στην ευθεία τέτοιο ώστε , και η τέμνει για δεύτερη φορά τον εγγεγραμμένο
κύκλο του στο σημείο . Να αποδείξετε ότι .
probl_right.png
Ακόμη,αν η κόψει τον εγγεγραμμένο κύκλο στο ,τότε ομοκυκλικά και οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες
Αλλά άρα ομοκυκλικά ,συνεπώς
συνευθειακά και
Re: Άλλη μια ορθή γωνία
Προφανώς το τετράπλευρο είναι αρμονικό. Ας είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του και τα σημεία τομής των με τη . Η δέσμη : είναι αρμονική κι αφού η ευθεία είναι παράλληλη στην ακτίνα, , της δέσμης, θα είναι .giannimani έγραψε: ↑Τετ Ιούλ 06, 2022 10:37 amΟ εγγεγραμμένος κύκλος του εφάπτεται των πλευρών , , στα σημεία , , , αντίστοιχα.
Θεωρούμε σημείο στην ευθεία τέτοιο ώστε , και η τέμνει για δεύτερη φορά τον εγγεγραμμένο
κύκλο του στο σημείο . Να αποδείξετε ότι .
probl_right.png
Όμως η είναι κι αυτή εφαπτομένη του κύκλου( λόγω του αρμονικού τετραπλεύρου) και άρα :
-
- Δημοσιεύσεις: 233
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Άλλη μια ορθή γωνία
Έστω το αντιδιαμετρικό του , και το δεύτερο σημείο τομής της με τον κύκλο .
Συμβολίζουμε με το σημείο τομής των ευθειών και , και με το σημείο τομής
των και . Στο τρίγωνο τα , είναι ύψη του τριγώνου,
εφόσον . Επομένως, το σημείο τομής των είναι ορθόκεντρο
αυτού του τριγώνου, οπότε . Εφόσον , τότε .
Απομένει να αποδείξουμε ότι η διέρχεται από το , οπότε .
Οι ευθείες , , είναι αντίστοιχα οι ριζικοί άξονες των ζευγών των κύκλων και ,
και , και (οι τρεις κύκλοι τέμνονται ανά δύο). Επομένως, διέρχονται από το ίδιο σημείο.
Συμβολίζουμε με το σημείο τομής των ευθειών και , και με το σημείο τομής
των και . Στο τρίγωνο τα , είναι ύψη του τριγώνου,
εφόσον . Επομένως, το σημείο τομής των είναι ορθόκεντρο
αυτού του τριγώνου, οπότε . Εφόσον , τότε .
Απομένει να αποδείξουμε ότι η διέρχεται από το , οπότε .
Οι ευθείες , , είναι αντίστοιχα οι ριζικοί άξονες των ζευγών των κύκλων και ,
και , και (οι τρεις κύκλοι τέμνονται ανά δύο). Επομένως, διέρχονται από το ίδιο σημείο.
-
- Δημοσιεύσεις: 292
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 02, 2022 7:28 am
Re: Άλλη μια ορθή γωνία
Ας δούμε και μία τριγωνομετρική απόδειξη...
Οπότε αρκεί να αποδειχθεί ότι
που αποδεικνύεται εύκολα λόγω εφαπτόμενου κύκλου, ...κλπ
Οπότε αρκεί να αποδειχθεί ότι
που αποδεικνύεται εύκολα λόγω εφαπτόμενου κύκλου, ...κλπ
-
- Δημοσιεύσεις: 292
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 02, 2022 7:28 am
Re: Άλλη μια ορθή γωνία
κι εγώ πάντως είχα τη λύση:
Έστω το μέσον της
τότε πρέπει να αποδείξουμε ότι , που ισχύει λόγο αρμονικού τετραπλεύρου.
Έστω το μέσον της
τότε πρέπει να αποδείξουμε ότι , που ισχύει λόγο αρμονικού τετραπλεύρου.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 33 επισκέπτες