Κατάλληλη προέκταση

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 13577
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Κατάλληλη προέκταση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Ιούλ 01, 2022 7:18 pm

Κατάλληλη  προέκταση.png
Κατάλληλη προέκταση.png (8.07 KiB) Προβλήθηκε 255 φορές
Στην προέκταση της πλευράς AB=a , τετραγώνου ABCD θεωρούμε σημείο E , ώστε : AE=\lambda a .

Σχεδιάζουμε το ημικύκλιο διαμέτρου AE , φέρουμε το εντός του τετραγώνου εφαπτόμενο τμήμα CS και

διαπιστώνουμε ότι τα σημεία D , S , E είναι συνευθειακά . Υπολογίστε το \lambda . Αληθεύει ότι :  CS= BE ;



Λέξεις Κλειδιά:
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2266
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Κατάλληλη προέκταση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Παρ Ιούλ 01, 2022 10:17 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Ιούλ 01, 2022 7:18 pm
Κατάλληλη προέκταση.pngΣτην προέκταση της πλευράς AB=a , τετραγώνου ABCD θεωρούμε σημείο E , ώστε : AE=\lambda a .

Σχεδιάζουμε το ημικύκλιο διαμέτρου AE , φέρουμε το εντός του τετραγώνου εφαπτόμενο τμήμα CS και

διαπιστώνουμε ότι τα σημεία D , S , E είναι συνευθειακά . Υπολογίστε το \lambda . Αληθεύει ότι :  CS= BE ;
Στο τρίγωνο

SCO,SC^{2}=OC^{2}-(\dfrac{\lambda a}{2})^{2},(1),

        OC^{2}=a^{2}+(a-\dfrac{\lambda a}{2})^{2},(2),

 (1),(2)\Rightarrow SC=a\sqrt{2-\lambda }=SG,(3),BG//AD,\dfrac{BG}{a}=

    \dfrac{\lambda a-a}{\lambda a}=\dfrac{\lambda -1}{\lambda }\Leftrightarrow \dfrac{1}{\lambda }=

      \sqrt{2-\lambda }\Leftrightarrow \lambda =\Phi ,BE=\alpha (\Phi -1),CS=CG=a.\dfrac{1 }{\Phi }\Rightarrow

              SC=BE,\Phi ^{2}=1+\Phi
Συνημμένα
Κατάλληλη προέκταση.png
Κατάλληλη προέκταση.png (10.85 KiB) Προβλήθηκε 233 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2322
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Κατάλληλη προέκταση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Σάβ Ιούλ 02, 2022 12:24 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Ιούλ 01, 2022 7:18 pm
Κατάλληλη προέκταση.pngΣτην προέκταση της πλευράς AB=a , τετραγώνου ABCD θεωρούμε σημείο E , ώστε : AE=\lambda a .

Σχεδιάζουμε το ημικύκλιο διαμέτρου AE , φέρουμε το εντός του τετραγώνου εφαπτόμενο τμήμα CS και

διαπιστώνουμε ότι τα σημεία D , S , E είναι συνευθειακά . Υπολογίστε το \lambda . Αληθεύει ότι :  CS= BE ;
MS=MA (εφαπτόμενα τμήματα),άρα M μέσον της AD οπότε ZA=a \Rightarrow ZE=( \lambda +1)a

  \dfrac{CD}{ ZE} = \dfrac{DS}{SE} = \dfrac{AD^2}{AE^2}= \dfrac{a^2}{ \lambda ^2a^2}   \Rightarrow   \dfrac{1}{ \lambda +1} = \dfrac{1}{ \lambda ^2}  \Rightarrow  \lambda = \Phi

Λόγω ισότητας των πράσινων γωνιών είναι CS=CI και BE=CK=( \lambda -1) \Phi

 EK^2=KC.KD \Leftrightarrow a^2=a \Phi ( \Phi  -1)a \Leftrightarrow  \Phi ^2= \Phi +1 αληθής

Άρα οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες ,οπότε από την ισότητα των ορθογωνίων

τριγώνων DCI,CBE θα είναι CS=CI=BE
Κατάλληλη προέκταση.png
Κατάλληλη προέκταση.png (53.26 KiB) Προβλήθηκε 198 φορές
τελευταία επεξεργασία από Μιχάλης Τσουρακάκης σε Κυρ Ιούλ 03, 2022 12:16 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11595
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κατάλληλη προέκταση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιούλ 02, 2022 7:12 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Ιούλ 01, 2022 7:18 pm
Κατάλληλη προέκταση.pngΣτην προέκταση της πλευράς AB=a , τετραγώνου ABCD θεωρούμε σημείο E , ώστε : AE=\lambda a .

Σχεδιάζουμε το ημικύκλιο διαμέτρου AE , φέρουμε το εντός του τετραγώνου εφαπτόμενο τμήμα CS και

διαπιστώνουμε ότι τα σημεία D , S , E είναι συνευθειακά . Υπολογίστε το \lambda . Αληθεύει ότι :  CS= BE ;
Η CS τέμνει την AB στο M. Επειδή D\widehat SA=90^\circ και MS=MA, το M θα είναι μέσο του AD. Με Π.Θ

βρίσκω \displaystyle MC = \frac{{a\sqrt 5 }}{2} \Rightarrow CS = \frac{a}{2}\left( {\sqrt 5  - 1} \right). Αλλά, εύκολα διαπιστώνουμε ότι οι κόκκινες γωνίες είναι

ίσες, οπότε \displaystyle CF = \frac{a}{2}\left( {\sqrt 5  - 1} \right) και \displaystyle FB = \frac{a}{2}\left( {3 - \sqrt 5 } \right).
Κατάλληλη προέκταση.png
Κατάλληλη προέκταση.png (15.83 KiB) Προβλήθηκε 174 φορές
\displaystyle BE||DC \Rightarrow \frac{{DC}}{{BE}} = \frac{{CF}}{{FB}} \Leftrightarrow \frac{1}{{\lambda  - 1}} = \frac{{\sqrt 5  - 1}}{{3 - \sqrt 5 }} \Leftrightarrow \boxed{\lambda  = \frac{{\sqrt 5  + 1}}{2} = \Phi }

\displaystyle BE = a(\lambda  - 1) = \frac{a}{2}\left( {\sqrt 5  - 1} \right) = CS


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8698
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κατάλληλη προέκταση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Ιούλ 04, 2022 2:19 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Ιούλ 01, 2022 7:18 pm
Κατάλληλη προέκταση.pngΣτην προέκταση της πλευράς AB=a , τετραγώνου ABCD θεωρούμε σημείο E , ώστε : AE=\lambda a .

Σχεδιάζουμε το ημικύκλιο διαμέτρου AE , φέρουμε το εντός του τετραγώνου εφαπτόμενο τμήμα CS και

διαπιστώνουμε ότι τα σημεία D , S , E είναι συνευθειακά . Υπολογίστε το \lambda . Αληθεύει ότι :  CS= BE ;
Ας είναι, O το κέντρο του ημικυκλίου , F το σημείο τομής της SC με την εφαπτομένη του ημικυκλίου στο E,

H\,\,,\,\,T οι τομές των DE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC αφ ενός και DC\,\,,\,\,BF αφ ετέρου.

Θέτω , BE = x( = \lambda a - a)\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,SC = k . Επειδή το \vartriangle FSE είναι ισοσκελές και BC//EF θα είναι και το \vartriangle CSH ισοσκελές .
Κατάλληλη προέκταση_ok.png
Κατάλληλη προέκταση_ok.png (21.76 KiB) Προβλήθηκε 131 φορές
Σε πρώτη φάση ο κύκλος \displaystyle \left( {C,CS} \right) διέρχεται από το H ενώ από την ομοιότητα των τριγώνων ορθογωνίων : CDH\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TDE έχω : \dfrac{{CD}}{{DT}} = \dfrac{{CH}}{{TE}} \Rightarrow {a^2} = k(a + x)\,\,\left( 1 \right).

Από το Π. Θ. στα SOC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,BCO\, έχω: \left\{ \begin{gathered} 
  O{C^2} = S{C^2} + O{S^2} \hfill \\ 
  O{C^2} = B{C^2} + O{B^2} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow ax = {a^2} - {k^2}

και λόγω της \left( 1 \right) προκύπτει : \boxed{x = k} που μας εξασφαλίζει ότι η ET εφάπτεται του κύκλου \left( {C,CS} \right) .

Τώρα θα έχω: E{T^2} = EH \cdot ES = EB \cdot EA \Rightarrow {a^2} = x\left( {a + x} \right) δηλαδή το B διαιρεί το AE σε μέσο κι άκρο λόγο. Όλα τα ζητούμενα έχουν απαντηθεί .

Παρατήρηση.

Η κατασκευή γίνεται αν διαιρέσω το CB σε μέσο κι άκρο λόγο δια του H


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8698
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κατάλληλη προέκταση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Ιούλ 04, 2022 6:49 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Ιούλ 01, 2022 7:18 pm
Κατάλληλη προέκταση.pngΣτην προέκταση της πλευράς AB=a , τετραγώνου ABCD θεωρούμε σημείο E , ώστε : AE=\lambda a .

Σχεδιάζουμε το ημικύκλιο διαμέτρου AE , φέρουμε το εντός του τετραγώνου εφαπτόμενο τμήμα CS και

διαπιστώνουμε ότι τα σημεία D , S , E είναι συνευθειακά . Υπολογίστε το \lambda . Αληθεύει ότι :  CS= BE ;
Κατασκευή
Κατάλληλη προέκταση_new_Κατασκευή.png
Κατάλληλη προέκταση_new_Κατασκευή.png (19.4 KiB) Προβλήθηκε 95 φορές
Με κέντρο το μέσο M του AD γράφω ημικύκλιο μέσα στο τετράγωνο.

Οι MB\,,\,\,MC τέμνουν το ημικύκλιο στα T\,\,,\,\,S. Οι ευθείες DS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB τέμνονται στο E.

Ο κύκλος διαμέτρου AEεφάπτεται της MC\,\,στο S ενώ ο κύκλος \left( {B,BE} \right) εφάπτεται εξωτερικά του αρχικού ημικυκλίου .

Η απόδειξη σαν άσκηση .


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες