Κατάλληλη προέκταση

KARKAR · #1

: Κατάλληλη προέκταση.png (8.07 KiB) Προβλήθηκε 255 φορές

Στην προέκταση της πλευράς AB=a

, τετραγώνου ABCD

θεωρούμε σημείο

, ώστε : $AE=\lambda a$ .

Σχεδιάζουμε το ημικύκλιο διαμέτρου

, φέρουμε το εντός του τετραγώνου εφαπτόμενο τμήμα

και

διαπιστώνουμε ότι τα σημεία D , S , E

είναι συνευθειακά . Υπολογίστε το $\lambda$ . Αληθεύει ότι : CS= BE

;

STOPJOHN · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 01, 2022 7:18 pm
Κατάλληλη προέκταση.pngΣτην προέκταση της πλευράς , τετραγώνου θεωρούμε σημείο , ώστε : $AE=\lambda a$ .

Σχεδιάζουμε το ημικύκλιο διαμέτρου , φέρουμε το εντός του τετραγώνου εφαπτόμενο τμήμα και

διαπιστώνουμε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά . Υπολογίστε το $\lambda$ . Αληθεύει ότι : ;

Στο τρίγωνο

$SCO,SC^{2}=OC^{2}-(\dfrac{\lambda a}{2})^{2},(1), OC^{2}=a^{2}+(a-\dfrac{\lambda a}{2})^{2},(2), (1),(2)\Rightarrow SC=a\sqrt{2-\lambda }=SG,(3),BG//AD,\dfrac{BG}{a}= \dfrac{\lambda a-a}{\lambda a}=\dfrac{\lambda -1}{\lambda }\Leftrightarrow \dfrac{1}{\lambda }= \sqrt{2-\lambda }\Leftrightarrow \lambda =\Phi ,BE=\alpha (\Phi -1),CS=CG=a.\dfrac{1 }{\Phi }\Rightarrow SC=BE,\Phi ^{2}=1+\Phi$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 01, 2022 7:18 pm
Κατάλληλη προέκταση.pngΣτην προέκταση της πλευράς , τετραγώνου θεωρούμε σημείο , ώστε : $AE=\lambda a$ .

Σχεδιάζουμε το ημικύκλιο διαμέτρου , φέρουμε το εντός του τετραγώνου εφαπτόμενο τμήμα και

διαπιστώνουμε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά . Υπολογίστε το $\lambda$ . Αληθεύει ότι : ;

(εφαπτόμενα τμήματα),άρα

μέσον της

οπότε $ZA=a \Rightarrow ZE=( \lambda +1)a$

$\dfrac{CD}{ ZE} = \dfrac{DS}{SE} = \dfrac{AD^2}{AE^2}= \dfrac{a^2}{ \lambda ^2a^2} \Rightarrow \dfrac{1}{ \lambda +1} = \dfrac{1}{ \lambda ^2} \Rightarrow \lambda = \Phi$

Λόγω ισότητας των πράσινων γωνιών είναι CS=CI

και $BE=CK=( \lambda -1) \Phi$

$EK^2=KC.KD \Leftrightarrow a^2=a \Phi ( \Phi -1)a \Leftrightarrow \Phi ^2= \Phi +1$ αληθής

Άρα οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες ,οπότε από την ισότητα των ορθογωνίων

τριγώνων DCI,CBE

θα είναι

: Κατάλληλη προέκταση.png (53.26 KiB) Προβλήθηκε 198 φορές

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 01, 2022 7:18 pm
Κατάλληλη προέκταση.pngΣτην προέκταση της πλευράς , τετραγώνου θεωρούμε σημείο , ώστε : $AE=\lambda a$ .

Σχεδιάζουμε το ημικύκλιο διαμέτρου , φέρουμε το εντός του τετραγώνου εφαπτόμενο τμήμα και

διαπιστώνουμε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά . Υπολογίστε το $\lambda$ . Αληθεύει ότι : ;

Η

τέμνει την

στο

Επειδή $D\widehat SA=90^\circ$ και MS=MA,

το

θα είναι μέσο του AD.

Με Π.Θ

βρίσκω $\displaystyle MC = \frac{{a\sqrt 5 }}{2} \Rightarrow CS = \frac{a}{2}\left( {\sqrt 5 - 1} \right).$ Αλλά, εύκολα διαπιστώνουμε ότι οι κόκκινες γωνίες είναι

ίσες, οπότε $\displaystyle CF = \frac{a}{2}\left( {\sqrt 5 - 1} \right)$ και $\displaystyle FB = \frac{a}{2}\left( {3 - \sqrt 5 } \right).$

: Κατάλληλη προέκταση.png (15.83 KiB) Προβλήθηκε 174 φορές

$\displaystyle BE||DC \Rightarrow \frac{{DC}}{{BE}} = \frac{{CF}}{{FB}} \Leftrightarrow \frac{1}{{\lambda - 1}} = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{{3 - \sqrt 5 }} \Leftrightarrow$ $\boxed{\lambda = \frac{{\sqrt 5 + 1}}{2} = \Phi }$

$\displaystyle BE = a(\lambda - 1) = \frac{a}{2}\left( {\sqrt 5 - 1} \right) = CS$

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 01, 2022 7:18 pm
Κατάλληλη προέκταση.pngΣτην προέκταση της πλευράς , τετραγώνου θεωρούμε σημείο , ώστε : $AE=\lambda a$ .

Σχεδιάζουμε το ημικύκλιο διαμέτρου , φέρουμε το εντός του τετραγώνου εφαπτόμενο τμήμα και

διαπιστώνουμε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά . Υπολογίστε το $\lambda$ . Αληθεύει ότι : ;

Ας είναι,

το κέντρο του ημικυκλίου ,

το σημείο τομής της

με την εφαπτομένη του ημικυκλίου στο

,

$H\,\,,\,\,T$ οι τομές των $DE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC$ αφ ενός και $DC\,\,,\,\,BF$ αφ ετέρου.

Θέτω , $BE = x( = \lambda a - a)\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,SC = k$ . Επειδή το $\vartriangle FSE$ είναι ισοσκελές και BC//EF

θα είναι και το $\vartriangle CSH$ ισοσκελές .

: Κατάλληλη προέκταση_ok.png (21.76 KiB) Προβλήθηκε 131 φορές

Σε πρώτη φάση ο κύκλος $\displaystyle \left( {C,CS} \right)$ διέρχεται από το

ενώ από την ομοιότητα των τριγώνων ορθογωνίων : $CDH\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TDE$ έχω : $\dfrac{{CD}}{{DT}} = \dfrac{{CH}}{{TE}} \Rightarrow {a^2} = k(a + x)\,\,\left( 1 \right)$ .

Από το Π. Θ. στα $SOC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,BCO\,$ έχω: $\left\{ \begin{gathered} O{C^2} = S{C^2} + O{S^2} \hfill \\ O{C^2} = B{C^2} + O{B^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow ax = {a^2} - {k^2}$

και λόγω της $\left( 1 \right)$ προκύπτει : $\boxed{x = k}$ που μας εξασφαλίζει ότι η

εφάπτεται του κύκλου $\left( {C,CS} \right)$ .

Τώρα θα έχω: $E{T^2} = EH \cdot ES = EB \cdot EA \Rightarrow {a^2} = x\left( {a + x} \right)$ δηλαδή το

διαιρεί το

σε μέσο κι άκρο λόγο. Όλα τα ζητούμενα έχουν απαντηθεί .

Παρατήρηση.

Η κατασκευή γίνεται αν διαιρέσω το

σε μέσο κι άκρο λόγο δια του

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 01, 2022 7:18 pm
Κατάλληλη προέκταση.pngΣτην προέκταση της πλευράς , τετραγώνου θεωρούμε σημείο , ώστε : $AE=\lambda a$ .

Σχεδιάζουμε το ημικύκλιο διαμέτρου , φέρουμε το εντός του τετραγώνου εφαπτόμενο τμήμα και

διαπιστώνουμε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά . Υπολογίστε το $\lambda$ . Αληθεύει ότι : ;

Κατασκευή

: Κατάλληλη προέκταση_new_Κατασκευή.png (19.4 KiB) Προβλήθηκε 95 φορές

Με κέντρο το μέσο

του

γράφω ημικύκλιο μέσα στο τετράγωνο.

Οι $MB\,,\,\,MC$ τέμνουν το ημικύκλιο στα $T\,\,,\,\,S$ . Οι ευθείες $DS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB$ τέμνονται στο

.

Ο κύκλος διαμέτρου

εφάπτεται της $MC\,\,$ στο

ενώ ο κύκλος $\left( {B,BE} \right)$ εφάπτεται εξωτερικά του αρχικού ημικυκλίου .

Η απόδειξη σαν άσκηση .

Κατάλληλη προέκταση

Κατάλληλη προέκταση

Re: Κατάλληλη προέκταση

Re: Κατάλληλη προέκταση

Re: Κατάλληλη προέκταση

Re: Κατάλληλη προέκταση

Re: Κατάλληλη προέκταση

Μέλη σε σύνδεση