Λογικός λόγος

KARKAR · #1

: Λογικός λόγος.png (12.02 KiB) Προβλήθηκε 458 φορές

Το τραπέζιο ABCD

, με $AD \parallel BC$ , είναι περιγεγραμμένο σε κύκλο και

τα T , Q , P , S

, είναι τα σημεία επαφής . Δείξτε ότι : $\dfrac{(QTP)}{(STP)}=\dfrac{BC}{AD}$ .

Η άσκηση είναι μια αναβάθμιση - γενίκευση εκείνης .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 23, 2022 6:47 am
Λογικός λόγος.pngΤο τραπέζιο , με $AD \parallel BC$ , είναι περιγεγραμμένο σε κύκλο και

τα , είναι τα σημεία επαφής . Δείξτε ότι : $\dfrac{(QTP)}{(STP)}=\dfrac{BC}{AD}$ .

Η άσκηση είναι μια αναβάθμιση - γενίκευση εκείνης .

Ας είναι ,

το σημείο τομής των $TP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,QS$ . Αν οι, $QT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,QP$ κόψουν την ευθεία

στα $G\,\,\kappa \alpha \iota \,\,J$ . Ας είναι ακόμα

το κέντρο του κύκλου .

Επειδή , $\vartriangle DTQ \approx \vartriangle ATG\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle CPQ \approx \vartriangle BPJ$ προκύπτει εύκολα ότι: $\boxed{\frac{a}{b} = \frac{m}{n}}$ και έτσι έχουμε μια σπουδαία πρόταση :

: Λογικός λόγος_ok.png (28.35 KiB) Προβλήθηκε 433 φορές

ΟΙ διαγώνιοι του τραπεζίου διέρχονται από το σημείο τομής

των $TP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,QS$ .

Μετά από την ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων: $QDF\,\,,\,\,SMF$ καθώς και $QFC\,\,,SFA$ έχω :

$\boxed{\frac{{\left( {QTP} \right)}}{{\left( {STP} \right)}} = \frac{{QF}}{{FS}} = \frac{a}{m} = \frac{b}{n} = \frac{{a + b}}{{m + n}}}$

Διευκρίνιση :

$\displaystyle \dfrac{b}{m} = \dfrac{{PQ}}{{PJ}} = \dfrac{{{r^2}}}{{4{m^2}}} \Rightarrow b = \dfrac{{{r^2}}}{{4m}}$ και όμοια , $a = \dfrac{{{r^2}}}{{4n}}$ οπότε: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{m}{n}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 23, 2022 6:47 am
Λογικός λόγος.pngΤο τραπέζιο , με $AD \parallel BC$ , είναι περιγεγραμμένο σε κύκλο και

τα , είναι τα σημεία επαφής . Δείξτε ότι : $\dfrac{(QTP)}{(STP)}=\dfrac{BC}{AD}$ .

Η άσκηση είναι μια αναβάθμιση - γενίκευση εκείνης .

Σύμφωνα με τη λύση μου στον εντυπωσιακό λόγο είναι: $\displaystyle \frac{{(QTP)}}{{(STP)}} = \frac{{BQ \cdot QC}}{{AS \cdot SD}} \cdot \frac{r}{{BQ}} \cdot \frac{{SD}}{r} = \frac{{QC}}{{AS}}$

: Λογικός λόγος.Κ.png (27.42 KiB) Προβλήθηκε 383 φορές

Ομοίως βρίσκω ότι $\displaystyle \frac{{(QTP)}}{{(STP)}} = \frac{{BQ}}{{SD}} = \frac{{QC}}{{AS}} = \frac{{BQ + QC}}{{AS + SD}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{(QTP)}}{{(STP)}} = \frac{{BC}}{{AD}}}$

STOPJOHN · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 23, 2022 6:47 am
Λογικός λόγος.pngΤο τραπέζιο , με $AD \parallel BC$ , είναι περιγεγραμμένο σε κύκλο και

τα , είναι τα σημεία επαφής . Δείξτε ότι : $\dfrac{(QTP)}{(STP)}=\dfrac{BC}{AD}$ .

Η άσκηση είναι μια αναβάθμιση - γενίκευση εκείνης .

Είναι

Από το θέμα Εντυπωσιακός Λόγος,

$\dfrac{(QTP)}{(STP)}=\dfrac{r}{w}.\dfrac{r}{z},$

Θα αποδειχθεί ότι $\dfrac{r^{2}}{wz}=\dfrac{x+y}{z+w},(*),$

Αν $BJ\perp AD,AJ=z-x,BJ=2r,ABJ,4r^{2}=4xz=4yw,(**),$ Οπότε αρκεί να αποδειχθεί ότι

$\dfrac{x}{w}=\dfrac{x+y}{z+w}\Leftrightarrow xz+xw=xw+yw$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 23, 2022 6:47 am
Λογικός λόγος.pngΤο τραπέζιο , με $AD \parallel BC$ , είναι περιγεγραμμένο σε κύκλο και

τα , είναι τα σημεία επαφής . Δείξτε ότι : $\dfrac{(QTP)}{(STP)}=\dfrac{BC}{AD}$ .

Η άσκηση είναι μια αναβάθμιση - γενίκευση εκείνης .

Οι σημειωμένες πράσινες γωνίες του σχήματος είναι ίσες με $\dfrac{A}{2}$ και οι κόκκινες με $\dfrac{B}{2}$ κι έστω

το κέντρο του κύκλου

Επιπλέον , $\angle DOC+ \angle AOB=180^0$ και $\angle TQP+ \angle TSP=180^0$

Είναι $tan \dfrac{A}{2}= \dfrac{QT}{TS} (1) , tan \dfrac{B}{2}= \dfrac{QP}{PS} (2) , cot \dfrac{A}{2} = \dfrac{OA}{OD} (3) , cot \dfrac{B}{2} = \dfrac{OB}{OC} (4)$

$(1).(2).(3).(4) \Rightarrow 1= \dfrac{QT}{TS}. \dfrac{QP}{PS} . \dfrac{OA.OB}{OD.OC } \Rightarrow \dfrac{QT}{TS}. \dfrac{QP}{PS}= \dfrac{OD.OC}{OA.OB}= \dfrac{(DOC)}{(AOB)}$

Άρα $\dfrac{(TQP)}{(TPS)}=\dfrac{(DOC)}{(AOB)}= \dfrac{rCD}{rAB}= \dfrac{CD}{AB}$ και το ζητούμενο αποδείχτηκε

: Λογικός λόγος.png (199.06 KiB) Προβλήθηκε 355 φορές

Λογικός λόγος

Λογικός λόγος

Re: Λογικός λόγος

Re: Λογικός λόγος

Re: Λογικός λόγος

Re: Λογικός λόγος

Μέλη σε σύνδεση