Ίσα τμήματα για μια επαφή

#1

: Ισα τμήματα για μιά επαφή.png (13.82 KiB) Προβλήθηκε 328 φορές

Δίδεται κύκλος $\left( O \right)$ κέντρου

, μια χορδή του

και το μέσο της

. Έστω ακόμα ένα σημείο

εσωτερικό του μεγάλου τόξου χορδής

.

Έστω

το άλλο σημείο τομής του κύκλου $\left( O \right)$ με τον κύκλο που διέρχεται από τα σημεία A,O,M

.

Ευθεία διερχομένη από το

και παράλληλη στην

τέμνει την

στο σημείο

.

Αν

το συμμετρικό του

ως προς το

να εξετάσετε αν η

εφάπτεται του $\left( O \right)$ .

#2

Doloros έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 19, 2022 11:55 pm
Ισα τμήματα για μιά επαφή.png

Δίδεται κύκλος $\left( O \right)$ κέντρου , μια χορδή του και το μέσο της . Έστω ακόμα ένα σημείο εσωτερικό του μεγάλου τόξου χορδής .

Έστω το άλλο σημείο τομής του κύκλου $\left( O \right)$ με τον κύκλο που διέρχεται από τα σημεία .

Ευθεία διερχομένη από το και παράλληλη στην τέμνει την στο σημείο .

Αν το συμμετρικό του ως προς το να εξετάσετε αν η εφάπτεται του $\left( O \right)$ .

Πως μας ξέφυγε αυτό το θέμα ; . Μας "πέτυχε" ταξιδεύοντας προς την πατρίδα

$\bullet$ Ας είναι $T\equiv AD\cap MS$ και $F\equiv CT\cap OD$ . Τότε $\angle DTM\overset{TM\parallel BD}{\mathop{=}}\,\angle DBM\equiv \angle DBC\overset{A,B,D,C\in \left( O \right)}{\mathop{=}}\,\angle DAC\equiv \angle TAC\Rightarrow$ A,T,M,C

ομοκυκλικά και ας είναι

το σημείο τομής του περίκυκλού τους $\left( X \right)$ με την

.

$\bullet$ Είναι $\angle FCM\equiv \angle TCM\overset{A,T,M,C\in \left( X \right)}{\mathop{=}}\,\angle TAM\equiv \angle DAM\overset{A,D,M,O\in \left( Y \right)}{\mathop{=}}\,$ $\angle DOM\equiv \angle FOM\Rightarrow O,F,M,C$ ομοκυκλικά (σε κύκλο έστω $\left( L \right)$ ) οπότε $\angle OFC=\angle OMC\overset{OM\,\,\alpha \pi o\sigma \tau \eta \mu \alpha \,\,\tau \eta \varsigma \,\,\chi o\rho \delta \eta \varsigma \,\,BC\,\,\tau o\upsilon \,\,\left( O \right)}{\mathop{=}}\,{{90}^{0}}:\left( 1 \right)$

: ίσα τμήματα για μία επαφή.png (50.3 KiB) Προβλήθηκε 221 φορές

$\bullet$ Είναι $\angle BKC\overset{A,K,T,C\in \left( X \right)}{\mathop{=}}\,\angle DTC$ (παραπληρώματα ίσων γωνιών) $\equiv \angle DTF\overset{TF\bot OD}{\mathop{=}}\,{{90}^{0}}-\angle ODA\overset{\angle ODA\,\,(\gamma \omega \nu \iota \alpha \,\,\alpha \kappa \tau \iota \nu \alpha \varsigma \,\,\chi o\rho \delta \eta \varsigma )={{90}^{0}}-\angle ACD}{\mathop{=}}\,$ $\angle ACD\overset{A,B,D,C\in \left( O \right)}{\mathop{=}}\,180-\left( \angle ABD \right)\Rightarrow KC\parallel BD\parallel EM$ (παραπληρωματικές γωνίες εντός και επί τα αυτά).

$\bullet$ Στο τρίγωνο $\vartriangle BCK\overset{EM\parallel CK,M\,\,\mu \varepsilon \sigma o\,\,\tau \eta \varsigma \,\,BC}{\mathop{\Rightarrow }}\,E$ μέσο της

και με

μέσο και της

(από την υπόθεση) προκύπτει ότι το τετράπλευρο BSKM

είναι παραλληλόγραμμο (οι διαγώνιές του διχοτομούνται), άρα $BS\parallel MK\Rightarrow \angle ABS\equiv \angle KBS=\angle BKM\overset{K,A,C,M\in \left( X \right)}{\mathop{=}}\,\angle ACM\equiv \angle ACB\Rightarrow SB$ εφαπτόμενη του $\left( O \right)$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Ίσα τμήματα για μια επαφή

Ίσα τμήματα για μια επαφή

Re: Ίσα τμήματα για μια επαφή

Μέλη σε σύνδεση