Διάμεσος που διχοτομεί

[Doloros]

Διάμεσος που διχοτομεί.png (17.79 KiB) Προβλήθηκε 520 φορές

Έστω ο περιγεγραμμένος κύκλος τριγώνου . Ο φορέας της ακτίνας τέμνει τη στο .

Ας είναι το ύψος του , το ορθόκεντρό του και το μέσο του .

Δείξετε ότι η διχοτομεί το .

[ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ]

Διάμεσος που διχοτομεί.png

Έστω ο περιγεγραμμένος κύκλος τριγώνου . Ο φορέας της ακτίνας τέμνει τη στο .

Ας είναι το ύψος του , το ορθόκεντρό του και το μέσο του .

Δείξετε ότι η διχοτομεί το .

Στο σχήμα του Νίκου (με λίγη φαντασία)

Αν τότε είναι γνωστό ότι το είναι το μέσο του (τα συμμετρικά του ορθοκέντρου τριγώνου ως προς τις πλευρές του είναι σημεία του περιγεγραμμένου του κύκλου).

Από το ορθογώνιο τρίγωνο μέσο της και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί .

[george visvikis]

Διάμεσος που διχοτομεί.png

Έστω ο περιγεγραμμένος κύκλος τριγώνου . Ο φορέας της ακτίνας τέμνει τη στο .

Ας είναι το ύψος του , το ορθόκεντρό του και το μέσο του .

Δείξετε ότι η διχοτομεί το .

Διάμεσος που διχοτομεί.png (14.74 KiB) Προβλήθηκε 474 φορές

Η τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο Είναι οπότε οι κόκκινες

γωνίες είναι ίσες και Αλλά το είναι μέσο του άρα και το είναι μέσο του

Με πρόλαβε ο Στάθης. Την αφήνω για το σχήμα. Το είναι το κέντρο του κύκλου του

[Maria-Eleni Nikolaou]

Διάμεσος που διχοτομεί.png (23.33 KiB) Προβλήθηκε 473 φορές

Έστω το μέσο της , τότε ισχύει
Φέρουμε παράλληλη στην . Όμως έτσι: παραλληλόγραμμο, δηλαδή: οπότε μέσο της
Στο τρίγωνο είναι , οπότε διέρχεται από το μέσο του , έστω
Παρατήρηση: Το είναι το κέντρο του κύκλου Euler του
Φέρουμε και έστω η προέκτασή του.
Είναι ως ακτίνες του κύκλου Euler, οπότε: , έτσι προκύπτει:
Επειδή ορθογώνιο, άμεσα προκύπτει:
Επομένως, μέσο του , δηλαδή η διχοτομεί το

[Henri van Aubel]

Λίγο αλλιώς. Στο σχήμα του κύριου Νίκου.

Από Θεώρημα Μενέλαου στο τρίγωνο με διατέμνουσα έχουμε

Δηλαδή αρκεί

Έχουμε όπως θέλαμε.