Εμφάνιση ορθής γωνίας
Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis
-
- Δημοσιεύσεις: 233
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Εμφάνιση ορθής γωνίας
του κύκλου και τον τέμνει στα σημεία και . Η δεύτερη τέμνουσα τέμνει τον κύκλο στα σημεία και . Οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων και , τέμνονται για δεύτερη φορά στο σημείο .
Να αποδείξετε ότι
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Εμφάνιση ορθής γωνίας
Ας είναι το σημείο τομής των , η δε τέμνει τον κύκλο στο .giannimani έγραψε: ↑Σάβ Μάιος 07, 2022 10:27 amright_angle.pngΑπό ένα σημείο , που βρίσκεται εκτός ενός δεδομένου κύκλου, φέρουμε δύο τέμνουσες του κύκλου. Η μια απ' αυτές διέρχεται από το κέντρο
του κύκλου και τον τέμνει στα σημεία και . Η δεύτερη τέμνουσα τέμνει τον κύκλο στα σημεία και . Οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων και , τέμνονται για δεύτερη φορά στο σημείο .
Να αποδείξετε ότι
Από το Θ. τα σημεία καθώς και τα σημεία είναι ομοκυκλικά .
( βαίνουν σε ίσα τόξα) έτσι από το έμμεσο κριτήριο ισότητας τριγώνων θα έχω: και άρα το τετράπλευρο είναι χαρταετός . Άμεση συνέπεια : . Αλλά , άρα .
κι αφού έχω:
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Εμφάνιση ορθής γωνίας
Ας δούμε και μια διαφορετική αντιμετώπιση του προβλήματος με τη βοήθεια της αρμονικότητας αποφεύγοντας το σημείο Miquel. Προφανώς ως το ριζικό κέντρο των ανά δύο τεμνομένων κύκλων και ας είναι Με ομοκυκλικά (έστω σε κύκλο ) και με εφαπτόμενη του η δεύτερη από το εφαπτόμενη του και συνεπώς η πολική του ως προς τον ,έτσι η σειρά είναι αρμονική και συνεπώς και η δέσμη είναι αρμονική, άρα και η σειρά είναι αρμονική και συνεπώς και η δέσμη είναι αρμονική και με διχοτόμος της και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί .giannimani έγραψε: ↑Σάβ Μάιος 07, 2022 10:27 amright_angle.pngΑπό ένα σημείο , που βρίσκεται εκτός ενός δεδομένου κύκλου, φέρουμε δύο τέμνουσες του κύκλου. Η μια απ' αυτές διέρχεται από το κέντρο
του κύκλου και τον τέμνει στα σημεία και . Η δεύτερη τέμνουσα τέμνει τον κύκλο στα σημεία και . Οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων και , τέμνονται για δεύτερη φορά στο σημείο .
Να αποδείξετε ότι
Y.S. Το πρόβλημα επιδέχεται αρκετές αντιμετωπίσεις και προφανώς το είναι το σημείο Miquel πλήρους τετραπλεύρου με κορμό εγγράψιμο τετράπλευρο . Μερικές από τις ιδιαιτερότητές του (και μάλιστα μια είναι και η ζητούμενη) θα βρείτε εδώ
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
-
- Δημοσιεύσεις: 233
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Εμφάνιση ορθής γωνίας
Έστω η τομή των ευθειών και . Τότε, στο τρίγωνο τα , είναι ύψη
του τριγώνου, επομένως, το σημείο τομής των είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου.
Αν η τέμνει την στο , τότε .
Aπό γνωστό θεώρημα των πόλων και των πολικών(*), η ευθεία είναι η πολική του
ως προς τον κύκλο . Ως εκ τούτου, το είναι το αντίστροφο του ως προς τον κύκλο ,
δηλαδή, .
Αρκεί να αποδείξουμε ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο, ή .
Γιαυτό, πρώτα διαπιστώνουμε ότι (εγγεγραμμένες γωνίες του κύκλου
που βαίνουν σε τόξα των ίσων χορδών , ). Από το εγγεγραμμένο στον κύκλο
τετράπλευρο έχουμε , οπότε λόγω της , και εφόσον
τα τρίγωνα και έχουν τη γωνία κοινή , είναι όμοια, δηλαδή,
.
Από και προκύπτει ότι , δηλαδή το είναι εγγράψιμο,
και εφόσον , τότε και .
(*) Θεώρημα: Έστω ότι δύο ευθείες , διέρχονται από ένα σημείο (), και τέμνουν
τον κύκλο στα σημεία , και , , αντίστοιχα. Τότε, ή
(όπου η πολική του ).
(**) Εκ παραδρομής δεν αναφέρθηκε ότι τα σημεία , και είναι συνευθειακά. Αυτό εξασφαλίζεται από το γεγονός ότι
το είναι το σημείο Miquel για τις ευθείες , , και .
του τριγώνου, επομένως, το σημείο τομής των είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου.
Αν η τέμνει την στο , τότε .
Aπό γνωστό θεώρημα των πόλων και των πολικών(*), η ευθεία είναι η πολική του
ως προς τον κύκλο . Ως εκ τούτου, το είναι το αντίστροφο του ως προς τον κύκλο ,
δηλαδή, .
Αρκεί να αποδείξουμε ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο, ή .
Γιαυτό, πρώτα διαπιστώνουμε ότι (εγγεγραμμένες γωνίες του κύκλου
που βαίνουν σε τόξα των ίσων χορδών , ). Από το εγγεγραμμένο στον κύκλο
τετράπλευρο έχουμε , οπότε λόγω της , και εφόσον
τα τρίγωνα και έχουν τη γωνία κοινή , είναι όμοια, δηλαδή,
.
Από και προκύπτει ότι , δηλαδή το είναι εγγράψιμο,
και εφόσον , τότε και .
(*) Θεώρημα: Έστω ότι δύο ευθείες , διέρχονται από ένα σημείο (), και τέμνουν
τον κύκλο στα σημεία , και , , αντίστοιχα. Τότε, ή
(όπου η πολική του ).
(**) Εκ παραδρομής δεν αναφέρθηκε ότι τα σημεία , και είναι συνευθειακά. Αυτό εξασφαλίζεται από το γεγονός ότι
το είναι το σημείο Miquel για τις ευθείες , , και .
τελευταία επεξεργασία από giannimani σε Δευ Μάιος 09, 2022 4:17 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: Εμφάνιση ορθής γωνίας
Μια ακόμη λύση. Τώρα με αντιστροφή .giannimani έγραψε: ↑Σάβ Μάιος 07, 2022 10:27 amright_angle.pngΑπό ένα σημείο , που βρίσκεται εκτός ενός δεδομένου κύκλου, φέρουμε δύο τέμνουσες του κύκλου. Η μια απ' αυτές διέρχεται από το κέντρο
του κύκλου και τον τέμνει στα σημεία και . Η δεύτερη τέμνουσα τέμνει τον κύκλο στα σημεία και . Οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων και , τέμνονται για δεύτερη φορά στο σημείο .
Να αποδείξετε ότι
Θεωρώ πόλο το κέντρο και δύναμη αντιστροφής την ακτίνα του , δηλαδή κύκλος αντιστροφής είναι ο .
Αντιστρέφω πρώτα τον κύκλο και δίδει εικόνα την ευθεία
( Στο από την συμμετρία ως προς κύκλο δείχνω πρώτα τον κύκλο και μετά τον και θα σχεδιαστεί άμεσα η ευθεία , όμοια και για τις άλλες αντιστροφές )
Ομοίως ο . Οι ευθείες τέμνονται στο , αφού δε οι κύκλοι
τέμνονται στο η εικόνα του είναι το και τα σημεία (πόλος) και τα είναι συνευθειακά .
θα ισχύει: Πάλι με πόλο το και κύκλο αντιστροφής τον η εικόνα της ευθείας θα είναι κύκλος γιατί αυτή η τέμνουσα δεν διέρχεται από τον πόλο .
Αναγκαστικά αυτός ο κύκλος θα διέρχεται από το και από τα σημεία . Δηλαδή :
Ο πιο πάνω κύκλος θα τέμνει ακόμα την διάμετρο σε ένα σημείο έστω . Ας πούμε τώρα το σημείο τομής των .
Για το τρίγωνο τα σημεία είναι οι πόδες των υψών ενώ το είναι μέσο της ,
ο κύκλος είναι ο κύκλος του οπότε το είναι ο πόδας του ύψους από το .
Εικόνα του στην αντιστροφή της ευθείας είναι το με άμεση συνέπεια ,
Από τις προκύπτει ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο και προφανώς οι γωνίες του στα θα είναι παραπληρωματικές , άρα
- Συνημμένα
-
- Εμφάνιση ορθής_2.ggb
- (38.22 KiB) Μεταφορτώθηκε 7 φορές
-
- Δημοσιεύσεις: 233
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Εμφάνιση ορθής γωνίας
Το πρόβλημα είναι από βιβλίο Ασκήσεων Γεωμετρίας για τις τάξεις 9-11 του I.F.Sharygin.
Παρακάτω η λύση που δίνει ο συγγραφέας:
Για την περίπτωση της τοποθέτησης των σημείων , , και όπως στο σχήμα εργαζόμαστε
ως εξής.
Θα αποδείξουμε ότι τα σημεία , , και ανήκουν στον ίδιο κύκλο. Συμβολίζουμε τα
τοξ και τοξ του κύκλου με και αντίστοιχα. Έχουμε .
Εφόσον, τα σημεία , , και ανήκουν στον ίδιο κύκλο, προκύπτει ότι
.
Εφόσον και τα σημεία , , και είναι ομοκυκλικά, έχουμε: .
Έτσι, , δηλαδή τα σημεία, , , και ανήκουν στον ίδιο κύκλο.
Επομένως, , .
Με όμοιο τρόπο εξετάζονται και οι περιπτώσεις για διαφορετικές θέσεις των σημείων , , και .
Παρακάτω η λύση που δίνει ο συγγραφέας:
Για την περίπτωση της τοποθέτησης των σημείων , , και όπως στο σχήμα εργαζόμαστε
ως εξής.
Θα αποδείξουμε ότι τα σημεία , , και ανήκουν στον ίδιο κύκλο. Συμβολίζουμε τα
τοξ και τοξ του κύκλου με και αντίστοιχα. Έχουμε .
Εφόσον, τα σημεία , , και ανήκουν στον ίδιο κύκλο, προκύπτει ότι
.
Εφόσον και τα σημεία , , και είναι ομοκυκλικά, έχουμε: .
Έτσι, , δηλαδή τα σημεία, , , και ανήκουν στον ίδιο κύκλο.
Επομένως, , .
Με όμοιο τρόπο εξετάζονται και οι περιπτώσεις για διαφορετικές θέσεις των σημείων , , και .
-
- Δημοσιεύσεις: 876
- Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 14 επισκέπτες