mathematica.gr • ισοσκελές από ίσα γινόμενα

Σελίδα 1 από 1

ισοσκελές από ίσα γινόμενα

Δημοσιεύτηκε: Τετ Απρ 13, 2022 11:51 am

από george visvikis

: Ισοσκελές από ίσα γινόμενα.png (18.67 KiB) Προβλήθηκε 634 φορές

Τα σημεία

E, C

βρίσκονται στην ευθεία

ώστε τα

E, B, C, F

να είναι διαδοχικά και

$AB\cdot CF=AC\cdot BE.$ Αν K, L

K, L

είναι τα περίκεντρα των τριγώνων AEC, ABF

AEC, ABF

αντίστοιχα και η

τέμνει τις AB, AC

AB, AC

στα

S, T,

να δείξετε ότι AS=AT.

AS=AT.

Re: ισοσκελές από ίσα γινόμενα

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Απρ 14, 2022 8:04 pm

από giannimani

Έστω ότι οι κύκλοι (AEC)

(AEC)

,

(ABF)

τέμνονται για δεύτερη φορά στο σημείο

.
Αρκεί να αποδείξουμε ότι η κοινή χορδή των δύο κύκλων είναι διχοτόμος της γωνίας BAC

BAC

,
οπότε, η διάκεντρος

ως κάθετος της κοινής χορδής

, θα ορίζει ίσα τμήματα
στις ευθείες των πλευρών

,

, δηλαδή,

AS=AT

.

: isosceles_and_equal_products.png (71.17 KiB) Προβλήθηκε 572 φορές

Έστω ότι η

τέμνει τον κύκλο (AEC)

(AEC)

στο σημείο

, και η

τον κύκλο

(ABF)

στο σημείο

.
Τότε από το θεώρημα των τεμνόμενων χορδών:
$AB\cdot BP= BE \cdot BC\implies \frac{AB}{BE}=\frac{BC}{BP}\quad(1)$ και $AC\cdot CQ=CF\cdot BC\implies \frac{AC}{CF}=\frac{BC}{CQ}\quad(2)$ .
Αλλά από την υπόθεση $AB\cdot CF=AC\cdot BE\implies \frac{AB}{BE}=\frac{AC}{CF}\quad (3)$
Από τις (1)

(1)

,

(2)

λόγω της

(3)

προκύπτει ότι $\frac{BC}{BP}=\frac{BC}{CQ} \implies BP=CQ$ .

Από τα εγγεγραμμένα τετράπλευρα APDC

APDC

και

ABDQ

προκύπτουν οι ισότητες
$\angle APD= \angle QCD$ και $\angle PBD=\angle DQC$ .
Επομένως, τα τρίγωνα DBP

DBP

και

DQC

είναι ίσα, οπότε DP= DC

DP= DC

και

DB=DQ

.
Ως εκ τούτου, $\angle BAD= \angle DAC$ , που είναι το αποδεικτέο.