ισοσκελές από ίσα γινόμενα

#1

: Ισοσκελές από ίσα γινόμενα.png (18.67 KiB) Προβλήθηκε 633 φορές

Τα σημεία

βρίσκονται στην ευθεία

ώστε τα

να είναι διαδοχικά και

$AB\cdot CF=AC\cdot BE.$ Αν K, L

είναι τα περίκεντρα των τριγώνων AEC, ABF

αντίστοιχα και η

τέμνει τις AB, AC

στα

να δείξετε ότι AS=AT.

giannimani · #2

Έστω ότι οι κύκλοι (AEC)

,

τέμνονται για δεύτερη φορά στο σημείο

.
Αρκεί να αποδείξουμε ότι η κοινή χορδή των δύο κύκλων είναι διχοτόμος της γωνίας BAC

,
οπότε, η διάκεντρος

ως κάθετος της κοινής χορδής

, θα ορίζει ίσα τμήματα
στις ευθείες των πλευρών

,

, δηλαδή,

.

: isosceles_and_equal_products.png (71.17 KiB) Προβλήθηκε 571 φορές

Έστω ότι η

τέμνει τον κύκλο (AEC)

στο σημείο

, και η

τον κύκλο

στο σημείο

.
Τότε από το θεώρημα των τεμνόμενων χορδών:
$AB\cdot BP= BE \cdot BC\implies \frac{AB}{BE}=\frac{BC}{BP}\quad(1)$ και $AC\cdot CQ=CF\cdot BC\implies \frac{AC}{CF}=\frac{BC}{CQ}\quad(2)$ .
Αλλά από την υπόθεση $AB\cdot CF=AC\cdot BE\implies \frac{AB}{BE}=\frac{AC}{CF}\quad (3)$
Από τις (1)

,

λόγω της

προκύπτει ότι $\frac{BC}{BP}=\frac{BC}{CQ} \implies BP=CQ$ .

Από τα εγγεγραμμένα τετράπλευρα APDC

και

προκύπτουν οι ισότητες
$\angle APD= \angle QCD$ και $\angle PBD=\angle DQC$ .
Επομένως, τα τρίγωνα DBP

και

είναι ίσα, οπότε DP= DC

και

.
Ως εκ τούτου, $\angle BAD= \angle DAC$ , που είναι το αποδεικτέο.

ισοσκελές από ίσα γινόμενα

ισοσκελές από ίσα γινόμενα

Re: ισοσκελές από ίσα γινόμενα

Μέλη σε σύνδεση