ΕΤΣΙ, ΓΙΑ ΝΑ ΥΠΑΡΧΕΙ...
Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis
-
- Δημοσιεύσεις: 1291
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
- Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου
ΕΤΣΙ, ΓΙΑ ΝΑ ΥΠΑΡΧΕΙ...
Την παρακάτω ανισότητα είναι πολύ πιθανόν να την έχουμε ξαναδεί...
Ας την προτείνω για να είμαι βέβαιος ότι κάποτε τέθηκε...
Την χρειάστηκα πρόσφατα για την απόδειξη μιας άλλης ανισότητας.
Σε τρίγωνο να αποδειχθεί ότι
Ας την προτείνω για να είμαι βέβαιος ότι κάποτε τέθηκε...
Την χρειάστηκα πρόσφατα για την απόδειξη μιας άλλης ανισότητας.
Σε τρίγωνο να αποδειχθεί ότι
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: ΕΤΣΙ, ΓΙΑ ΝΑ ΥΠΑΡΧΕΙ...
Θα χρησιμοποιήσω δύο γνωστές αλλά δύσκολες ανισότητες όμως δεν αμφιβάλω ότι θα υπάρχει ευκολότερος, πιο άμεσος τρόπος.
Η μία είναι η ανισότητα και η άλλη είναι η Euler .
H πρώτη αποδεικνύεται από τον τύπο που υπάρχει σε διάφορες παλιές Τριγωνομετρίες. Ο δεύτερος είναι η ιστορικά πρώτη ουσιαστική ανισότητα στα τρίγωνα, και την βρίσκει κανείς στην βιβλιογραφία.
Έτσι
που ισοδυναμεί με το ζητούμενο.
Τηλέμαχε, σου κάνουν αυτά ή έχεις κάτι πιο άμεσο και πονηρό;
-
- Δημοσιεύσεις: 1291
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
- Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου
Re: ΕΤΣΙ, ΓΙΑ ΝΑ ΥΠΑΡΧΕΙ...
Nα ευχαριστήσω το Μιχάλη Λάμπρου για τη λύση που έγραψε.Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Πέμ Φεβ 17, 2022 9:36 pm
Τηλέμαχε, σου κάνουν αυτά ή έχεις κάτι πιο άμεσο και πονηρό;
Η δική μου απόδειξη ξεκινά από τη γνωστή ισότητα
Δεν θεωρώ δεδομένο ότι ένας μαθητής της β' Λυκείου με ενδιαφέρον για τη Γεωμετρία τη γνωρίζει.
Κανονικά οφείλω να την αποδείξω, αλλά ας τη θεωρήσω ως γνωστή...
Θα αποδείξω ότι
Ισχύει ότι
και εδώ τελειώνει η απόδειξη.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: ΕΤΣΙ, ΓΙΑ ΝΑ ΥΠΑΡΧΕΙ...
Ωραιότατο, και μέσα στην εμβέλεια των ιδεών που συναντά κανείς σε προσιτές πηγές.
-
- Δημοσιεύσεις: 1291
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
- Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου
Re: ΕΤΣΙ, ΓΙΑ ΝΑ ΥΠΑΡΧΕΙ...
Noμίζω ότι οφείλω να γράψω μια απόδειξη της ισότητας .ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑Πέμ Φεβ 17, 2022 10:41 pmΔεν θεωρώ δεδομένο ότι ένας μαθητής της β' Λυκείου με ενδιαφέρον για τη Γεωμετρία τη γνωρίζει.
Συνεπώς
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: ΕΤΣΙ, ΓΙΑ ΝΑ ΥΠΑΡΧΕΙ...
Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και την αντικατάσταση Ravi: . Τότε
και
Θέλουμε λοιπόν να δείξουμε ότι
Το τελευταίο προκύπτει από τη γνωστή ανισότητα θέτοντας
και
Θέλουμε λοιπόν να δείξουμε ότι
Το τελευταίο προκύπτει από τη γνωστή ανισότητα θέτοντας
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: ΕΤΣΙ, ΓΙΑ ΝΑ ΥΠΑΡΧΕΙ...
Ας παρατηρήσουμε ότι η ανισότητα αυτή είναι ουσιαστικά η Finsler-Hadwiger:ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑Πέμ Φεβ 17, 2022 6:26 pmΤην παρακάτω ανισότητα είναι πολύ πιθανόν να την έχουμε ξαναδεί...
Ας την προτείνω για να είμαι βέβαιος ότι κάποτε τέθηκε...
Την χρειάστηκα πρόσφατα για την απόδειξη μιας άλλης ανισότητας.
Σε τρίγωνο να αποδειχθεί ότι
Μάγκος Θάνος
-
- Δημοσιεύσεις: 1291
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
- Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου
Re: ΕΤΣΙ, ΓΙΑ ΝΑ ΥΠΑΡΧΕΙ...
Aς δούμε την απόδειξη της παρατήρησης του Θάνου.matha έγραψε: ↑Παρ Φεβ 18, 2022 5:51 pmΑς παρατηρήσουμε ότι η ανισότητα αυτή είναι ουσιαστικά η Finsler-Hadwiger:ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑Πέμ Φεβ 17, 2022 6:26 pmΤην παρακάτω ανισότητα είναι πολύ πιθανόν να την έχουμε ξαναδεί...
Ας την προτείνω για να είμαι βέβαιος ότι κάποτε τέθηκε...
Την χρειάστηκα πρόσφατα για την απόδειξη μιας άλλης ανισότητας.
Σε τρίγωνο να αποδειχθεί ότι
Η ανισότητα Finsler-Hadwiger γράφεται ισοδύναμα
και μετά από τις πράξεις και τις απλοποιήσεις ισοδύναμα έχουμε
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: ΕΤΣΙ, ΓΙΑ ΝΑ ΥΠΑΡΧΕΙ...
Επίσης, ας παρατηρήσουμε ότι η ζητούμενη είναι ισοδύναμη με την
()
καθώς είναι
.
Από εδώ είναι άμεσο ότι η ζητούμενη είναι ουσιαστικά η Finsler-Hadwiger, αφού
.
Φυσικά, η () είναι άμεση συνέπεια της ανισότητας και της σχέσης
()
καθώς είναι
.
Από εδώ είναι άμεσο ότι η ζητούμενη είναι ουσιαστικά η Finsler-Hadwiger, αφού
.
Φυσικά, η () είναι άμεση συνέπεια της ανισότητας και της σχέσης
Μάγκος Θάνος
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1797
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: ΕΤΣΙ, ΓΙΑ ΝΑ ΥΠΑΡΧΕΙ...
Θα θεωρήσουμε γνωστές τις παρακάτω ισότητες ( το βαρύκεντρο του τριγώνου) :
(1)
(2)
και δεδομένων των ανισοτήτων
(3) βλέπε εδώ
όπου η απόσταση των κέντρων του περιγεγραμμένου και εγγεγραμένου κύκλου του τριγώνου (σχέση του Euler). Από τις (1), (2), (3) προκύπτει η:
(4)
η οποία ισοδύναμα μπορεί να γραφεί (), δεξί μέλος,
διαιρούμε και τα δυο μέλη της ανισότητας με και κάνουμε την αντικατάσταση και η ανισότητα γίνεται
Μελετάμε την συνάρτηση στο διάστημα , αφού . Έχουμε
Εξετάζουμε τον αριθμητή της δεύτερης παραγώγου
κάνουμε την αντικατάσταση και ο παραπάνω αριθμητής γίνεται
Οπότε και ειδικά στο διάστημα θα είναι . Επομένως και η συνάρτηση είναι κυρτή στο διάστημα .
Θεωρούμε τα σημεία και και την ευθεία που διέρχεται από αυτά. Λόγω της παραπάνω κυρτότητας θα είναι:
που είναι πιο ισχυρή ανισότητα στην δημοσιεύση του Δημήτρη.
.
Εδώ θα μπορούσε κανείς να προχωρήσει και να φτιάξει αντίστοιχες ανισότητες και για το άλλο σκέλος της (4), αλλά και να προχωρήσει σε φράγματα που να έχουν και δευτεροβάθμιους όρους των , κτλ.
Τα παραπάνω τα πήρα από το άρθρο "Προβλήματα με δυο γνωστούς" του Μ.Α. Γκορέλοβ από το περιοδικό "Μαθηματική Εκπαίδευση", τεύχος 22, 2018 σελίδες 85-113. . Η μελέτη της συνάρτησης στην παραπάνω μορφή είναι δική μου, στο πρωτότυπο υπάρχει διαφορετική μελέτη.
Στο άρθρο μπορεί να βρει κανείς αποδείξεις και άλλων παρόμοιων προβλημάτων.
(1)
(2)
και δεδομένων των ανισοτήτων
(3) βλέπε εδώ
όπου η απόσταση των κέντρων του περιγεγραμμένου και εγγεγραμένου κύκλου του τριγώνου (σχέση του Euler). Από τις (1), (2), (3) προκύπτει η:
(4)
η οποία ισοδύναμα μπορεί να γραφεί (), δεξί μέλος,
διαιρούμε και τα δυο μέλη της ανισότητας με και κάνουμε την αντικατάσταση και η ανισότητα γίνεται
Μελετάμε την συνάρτηση στο διάστημα , αφού . Έχουμε
Εξετάζουμε τον αριθμητή της δεύτερης παραγώγου
κάνουμε την αντικατάσταση και ο παραπάνω αριθμητής γίνεται
Οπότε και ειδικά στο διάστημα θα είναι . Επομένως και η συνάρτηση είναι κυρτή στο διάστημα .
Θεωρούμε τα σημεία και και την ευθεία που διέρχεται από αυτά. Λόγω της παραπάνω κυρτότητας θα είναι:
που είναι πιο ισχυρή ανισότητα στην δημοσιεύση του Δημήτρη.
Παρατηρούμε μάλιστα ότι όχι μόνο είναι πιο ισχυρή αλλά και "βέλτιστη" δυνατή, αν περιοριστούμε σε ένα γραμμικό συνδιασμό των ως αναφορά την εκτίμηση προς τα πάνω της ημιπεριμέτρου. Δηλαδή για ανισότητες της μορφής
.
Εδώ θα μπορούσε κανείς να προχωρήσει και να φτιάξει αντίστοιχες ανισότητες και για το άλλο σκέλος της (4), αλλά και να προχωρήσει σε φράγματα που να έχουν και δευτεροβάθμιους όρους των , κτλ.
Τα παραπάνω τα πήρα από το άρθρο "Προβλήματα με δυο γνωστούς" του Μ.Α. Γκορέλοβ από το περιοδικό "Μαθηματική Εκπαίδευση", τεύχος 22, 2018 σελίδες 85-113. . Η μελέτη της συνάρτησης στην παραπάνω μορφή είναι δική μου, στο πρωτότυπο υπάρχει διαφορετική μελέτη.
Στο άρθρο μπορεί να βρει κανείς αποδείξεις και άλλων παρόμοιων προβλημάτων.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 10 επισκέπτες