Λόγος δοσμένος

KARKAR · #1

: Λόγος δοσμένος.png (11.53 KiB) Προβλήθηκε 344 φορές

Η

είναι χορδή κύκλου (O , r)

και η

είναι η διχοτόμος της γωνίας $\widehat{OAB}$ .

Η χορδή

είναι παράλληλη προς την

.

τέμνονται στο σημείο

.

Αν : $OS=\dfrac{5r}{11}$ , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{BC}{AC}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 26, 2022 8:24 pm
Λόγος δοσμένος.pngΗ είναι χορδή κύκλου και η είναι η διχοτόμος της γωνίας $\widehat{OAB}$ .

Η χορδή είναι παράλληλη προς την . τέμνονται στο σημείο .

Αν : $OS=\dfrac{5r}{11}$ , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{BC}{AC}$ .

Από Θ. διχοτόμων και λόγω παραλληλίας των $AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CB$
$\dfrac{{OA}}{{AB}} = \dfrac{{OD}}{{DB}} = \dfrac{{OS}}{{SC}} = \dfrac{{\dfrac{{5r}}{{11}}}}{{r - \dfrac{{5r}}{{11}}}} = \dfrac{5}{6}\,\,\,\left( 1 \right)$

Αν θέσω OA = OB = OC = 10k

θα είναι $AM = 6k\,\,,\,\,OM = 8k$ , όπου

μέσο του

.

$\tan 2\theta = \dfrac{{OM}}{{AM}} = \dfrac{4}{3} \Rightarrow \dfrac{4}{3} = \dfrac{{2\tan \theta }}{{1 - {{\tan }^2}\theta }} \Rightarrow \tan \theta = \dfrac{1}{2}$ , $\cos 2\theta = \dfrac{{1 - {{\tan }^2}\theta }}{{1 + {{\tan }^2}\theta }} = \dfrac{3}{5}$

: Λόγος δοσμένος.png (18.97 KiB) Προβλήθηκε 312 φορές

Προφανώς $\vartriangle OAB \approx \vartriangle FOA \Rightarrow \dfrac{{OF}}{{10k}} = \dfrac{{10k}}{{12k}} \Rightarrow OF = \dfrac{{25}}{3}k$ και άρα, $FB = \dfrac{{11}}{3}k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,FC = \dfrac{5}{3}k$ .

Από Θ. συνημίτονου στο $\vartriangle OAC$ έχω: $AC = 4k\sqrt 5$ και με Θ. Stewart

στο $\vartriangle ABC$ βρίσκω $CB = \dfrac{{8\sqrt 5 }}{5}k$ , οπότε: $\boxed{\dfrac{{CB}}{{CA}} = \frac{2}{5}}$ .

Ούτε η πιο πάνω λύση , ούτε άλλες με πιο πολύ τριγωνομετρία, μ αρέσουν . Θα ψάξω για κάτι πιο σύντομο και κομψό .

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 26, 2022 8:24 pm
Λόγος δοσμένος.pngΗ είναι χορδή κύκλου και η είναι η διχοτόμος της γωνίας $\widehat{OAB}$ .

Η χορδή είναι παράλληλη προς την . τέμνονται στο σημείο .

Αν : $OS=\dfrac{5r}{11}$ , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{BC}{AC}$ .

Αν $\displaystyle A\widehat BC = \theta,$ τότε $\displaystyle A\widehat OC = B\widehat AO = 2\theta.$ Τα τρίγωνα AOS, ADB

είναι όμοια,

άρα $\displaystyle \frac{r}{{AB}} = \frac{{OS}}{{BD}} \Leftrightarrow \frac{{5r}}{{11}}AB = r \cdot \frac{{ABr}}{{AB + r}} \Leftrightarrow AB = \frac{{6r}}{5}$

: Λόγος δοσμένος.png (16.23 KiB) Προβλήθηκε 273 φορές

$\displaystyle \cos 2\theta = \frac{{AB}}{{2r}} = \frac{3}{5}$ και με νόμο συνημιτόνου στο OAC

είναι $\boxed{AC = \frac{{2r\sqrt 5 }}{5}}$ (1)

Η

εφάπτεται στον περίκυκλο του OEB,

άρα $\displaystyle {r^2} = AE \cdot AB \Leftrightarrow AE = \frac{{5r}}{6}$ και $\displaystyle EB = \frac{{11r}}{{30}}$

Στο AOS

μία γωνία είναι διπλάσια μιας άλλης, οπότε $AS^2=OS^2+OS\cdot OA \Leftrightarrow AS = \dfrac{{4r\sqrt 5 }}{{11}}$

Αλλά, $\displaystyle AS||BC \Rightarrow \frac{{BC}}{{AS}} = \frac{{EB}}{{AE}} = \frac{{11}}{{25}} \Leftrightarrow$ $\boxed{BC = \frac{{4r\sqrt 5 }}{{25}}}$ (2)

Από

και

$\boxed{\frac{BC}{AC}=\frac{2}{5}}$

STOPJOHN · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 26, 2022 8:24 pm
Λόγος δοσμένος.pngΗ είναι χορδή κύκλου και η είναι η διχοτόμος της γωνίας $\widehat{OAB}$ .

Η χορδή είναι παράλληλη προς την . τέμνονται στο σημείο .

Αν : $OS=\dfrac{5r}{11}$ , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{BC}{AC}$ .

$SD//CB,OC=OB\Rightarrow OS=OD=\dfrac{5r}{11},SC=DB=\dfrac{6r}{11},$

Για τις γωνίες

$\hat{OBA}=3\omega =\hat{ODS}=\hat{OSD}=\hat{OCB},\hat{AOL}=2\omega , \hat{OLB}=4\omega ,$

Aπο το θεώρημα διχοτόμου στο τρίγωνο

$ALO,\dfrac{t}{AL}= \dfrac{5}{11}\Rightarrow AL=\dfrac{11t} {5} ,LS=t,$ Από τα όμοια τρίγωνα $ALO,AOB,AL=LO=\dfrac{5r}{6},$

Αρα $t=\dfrac{25r}{66},CL=r-OL=\dfrac{r}{6}, Stewart ,OAC,AC=\dfrac{2r}{\sqrt{5}},(*)$

Βασική ασκηση στο τρίγωνο

$OAS,\hat{AOS}=2\hat{OAS}\Leftrightarrow AS=\dfrac{4r\sqrt{5}}{11}, AS//OB\Rightarrow \dfrac{AS}{CB}=\dfrac{25}{11},(**), (*),(**)\Rightarrow CB=\dfrac{4r\sqrt{5}}{25}, \dfrac{CB}{AC}=\dfrac{2}{5}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 26, 2022 8:24 pm
Λόγος δοσμένος.pngΗ είναι χορδή κύκλου και η είναι η διχοτόμος της γωνίας $\widehat{OAB}$ .

Η χορδή είναι παράλληλη προς την . τέμνονται στο σημείο .

Αν : $OS=\dfrac{5r}{11}$ , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{BC}{AC}$ .

Η κάθετη στην

τέμνει την

στο

και την

στο

και προφανώς είναι μεσοκάθετη της

και είναι

Από θ.διχοτόμου $\dfrac{OD}{DB}= \dfrac{OA}{AB} \Rightarrow \dfrac{5}{6}= \dfrac{r}{AB} \Rightarrow AB= \dfrac{6r}{5} \Rightarrow KB=KC= \dfrac{r}{5}$

Θεωρώντας ακόμη $ON \bot AC$ οι πράσινες γωνίες είναι ίσες,συνεπώς OKCA

εγγράψιμμο και

$\angle AOK= \angle OKA= \angle OCA= \angle OAC$ άρα είναι ισοσκελές τραπέζιο,επομένως AC=OK

Έχουμε, $AK.KB=r^2-OK^2\Rightarrow r. \dfrac{r}{5}=r^2-AC^2 \Rightarrow AC^2 = \dfrac{4r^2}{5}$

κι από Π.Θ στο τρίγωνο ONC

εύκολα $ON^2=AC^2= \dfrac{4r^2}{5}$

Επειδή $\angle KBC= \angle \dfrac{AOC}{2}= \angle NOC$ τα τρίγωνα ONC,KBI

είναι όμοια και

$\dfrac{ON^2}{BI^2} = \dfrac{OC^2}{KB^2} \Rightarrow \dfrac{AC^2}{ \dfrac{BC^2}{4} }= \dfrac{r^2}{ \dfrac{r^2}{25} } \Rightarrow \dfrac{BC}{AC}= \dfrac{2}{5}$

: Δοσμένος λόγος.png (49.06 KiB) Προβλήθηκε 225 φορές

Λόγος δοσμένος

Λόγος δοσμένος

Re: Λόγος δοσμένος

Re: Λόγος δοσμένος

Re: Λόγος δοσμένος

Re: Λόγος δοσμένος

Μέλη σε σύνδεση